Bài 8 trang 102 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Giải bài tập Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn BC tại M và tia Ay cắt đoạn CD kéo dài tại N.

Đề bài

Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn BC tại M và tia Ay cắt đoạn CD kéo dài tại N.

a) Chứng minh hai tam giác ABM và AND bằng nhau.

b) Gọi O là trung điểm của MN. Chứng minh ABMO và ANDO là các tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh ba điểm B, D, O thẳng hàng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(\widehat {BAM} = \widehat {DAN}\), chứng minh \({\Delta _v}ABM\) và \({\Delta _v}ADN\) bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn.

b) Chứng minh tam giác AMN cân tại A \( \Rightarrow AO \bot MN\).

Chứng minh tứ giác ABMO có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

Chứng minh tứ giác ANDO có hai đỉnh O; D cùng nhìn AN dưới góc 90⁰.

c) Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh \(\widehat {BOM}\) và \(\widehat {DON}\) bằng nhau.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\widehat {BAM} = \widehat {BAD} - \widehat {MAD} = {90^0} - \widehat {MAD}\).

\(\widehat {DAN} = \widehat {MAN} - \widehat {MAD} = {90^0} - \widehat {MAD}\)

\( \Rightarrow \widehat {BAM} = \widehat {DAN}\)

Xét \({\Delta }ABM\) và \({\Delta }ADN\) có:

\(AB = AD\) (ABCD là hình vuông)

\(\widehat {BAM} = \widehat {DAN}\,\,\left( {cmt} \right)\);

\( \Rightarrow {\Delta }ABM = {\Delta }ADN\)(cạnh góc vuông – góc nhọn).

b) \({\Delta }ABM = {\Delta }ADN\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AM = AN\) (hai cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \Delta AMN\) cân tại A.

\( \Rightarrow \) Trung tuyến AO đồng thời là đường cao \( \Rightarrow AO \bot MN \Rightarrow \widehat {AOM} = {90^0}\).

Xét tứ giác ABMO có: \(\widehat {AOM} + \widehat {ABM} = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác ABMO là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

Xét tứ giác ANDO có: \(\widehat {AON} = \widehat {ADN} = {90^0} \Rightarrow \) Hai điểm O; D cùng nhìn AN dưới góc 90⁰\( \Rightarrow A;D\) thuộc đường tròn đường kính AN \( \Rightarrow \) Tứ giác ANDO nội tiếp đường tròn đường kính AN.

c) Vì tứ giác ABMO nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat {BOM} = \widehat {BAM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM).

Tứ giác ANDO nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat {DON} = \widehat {DAN}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BN).

\({\Delta }ABM = {\Delta }ADN\,\,\left( {cmt} \right) \)

\(\Rightarrow \widehat {BAM} = \widehat {DAN}\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow \widehat {BOM} = \widehat {DON}\). Mà 2 góc này ở vị trí hai góc đồng vị \( \Rightarrow B;D;O\) thẳng hàng.

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 9 trang 102 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Từ một điểm M tùy ý trên dây BC, kẻ các
Bài 10 trang 102 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Cho đường tròn (O) có đường kính AB cố định. CD là một đường kính di động của (O). Các
Bài 11 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ điểm M khác điểm A trên tiếp tuyến với đường tròn tại
Bài 12 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi H và I theo thứ tự là hình chiếu của B trên AC,
Bài 13 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn. Chứng minh hai đường tròn nội tiếp hai tam giác ABC và ACD tiếp xúc nhau.
Bài 14 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Một đa giác đều có n cạnh, đội dài mỗi cạnh là a. Hãy tính bán kính R và r của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp đa giác đó theo a.
Bài 15 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Chứng minh
Bài 16 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Cho một đa giác đều nội tiếp đường tròn (O ; R). Cho biết một cạnh của đa giác là AB = R. Tính số cạnh của đa giác.
Bài 17 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Hãy vẽ các hình lục giác đều, hình vuông, tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn (O ; R) rồi tính cạnh của các hình đó theo R.
Bài 18 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung sao cho sđ ,
Bài 19 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Tứ giác ABCD có
Bài 20 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Cho tứ giác lồi ABCD. Phân giác các góc A, B, C, D từng cặp liên tiếp cắt nhau tại E, F, G, H.
Bài 21 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính BC với AB < AC. Vẽ
Bài 22 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O; R) có đường cao BE, CF cắt nhau tại H.
Bài 23 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R). Gọi H là giao điểm ba đường cao AD, BE, CF. Gọi S là diện tích tam giác ABC.
Bài 7 trang 102 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Cho đường tròn (O) và đường thẳng (d) ở ngoài đường tròn. Gọi A là hình chiếu của O trên d.
Bài 6 trang 102 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AC, đường tròn đường kính CM
Bài 5 trang 102 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và A’. Một cát tuyến qua A cắt (O) và (O’) lần
Bài 4 trang 102 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 6 cm.
Bài 3 trang 102 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MBC và tiếp tuyến Mt tiếp xúc với (O)
Bài 2 trang 102 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Cho góc nhọn xOy, trên cạnh Ox lấy hai điểm A, B sao cho OA = 2 cm, OB = 6 cm. Trên cạnh
Bài 1 trang 102 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC, gọi A’, B’ C’ lần lượt là chân ba đường cao vẽ từ A, B, C và gọi H là trực