Bài 11 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Bình chọn:
4 trên 5 phiếu

Giải bài tập Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ điểm M khác điểm A trên tiếp tuyến với đường tròn tại

Đề bài

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ điểm M khác điểm A trên tiếp tuyến với đường tròn tại A, ta vẽ cát tuyến MCD (C nằm giữa M và D). Vẽ tiếp tuyến MI tiếp xúc với (O) tại I. Đường thẳng BC và BD cắt đường thẳng OM tại E và F. Chứng minh:

a) MICE là tứ giác nội tiếp.

b) O là trung điểm của EF.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh tứ giác MICE có tổng hai góc đối bằng 1800.

b) Gọi G là giao điểm của AF và đường tròn \(\left( O \right)\), chứng minh BC//AG và O là trung điểm của CG. Áp dụng định lí Ta-lét.

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có \(OA = OI = R \Rightarrow O\) thuộc trung trực của AI.

\(MA = MI\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow \) M thuộc trung trực của AI.

\( \Rightarrow OM\) là trung trực của AI \( \Rightarrow OM \bot AI\).

Ta có : \(\widehat {AIB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow IB \bot AI\)

\( \Rightarrow OM//IB \Rightarrow \widehat {IBC} = \widehat {CEO}\) (hai góc so le trong bằng nhau).

Lại có \(\widehat {IBC} = \widehat {CIM}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung IC)

\( \Rightarrow \widehat {CEO} = \widehat {CIM}\)\(\left( { = \widehat {IBC}} \right)\).

Mà \(\widehat {CEO} + \widehat {CEM} = {180^0}\)  (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {CIM} + \widehat {CEM} = {180^0} \Rightarrow \)Tứ giác MICE là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).

b) Gọi G là giao điểm của AF và đường tròn \(\left( O \right)\). Xét tứ giác ACBG nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ABC} = \widehat {AGC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

Mà tam giác OAG cân tại O (do \(OA = OG\)) \( \Rightarrow \widehat {AGC} = \widehat {OAG} \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {OAG}\).

Ta có: \(\widehat {ACB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại C \( \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {BAC} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {OAG} + \widehat {BAC} = {90^0} \)

\(\Rightarrow \widehat {CAG} = {90^0} \) \(\Rightarrow AG \bot AC\). Mà \(AC \bot BC\,\,\left( {\widehat {ACB} = {{90}^0}} \right) \Rightarrow AG//BC\).

Và \(\widehat {CAG}\) nội tiếp chắn nửa đường tròn \( \Rightarrow O\) là trung điểm của CG \( \Rightarrow OC = OG\)

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{OE}}{{OF}} = \dfrac{{OC}}{{OG}} = 1 \Rightarrow OE = OF\). Vậy O là trung điểm của EF.

 Loigiaihay.com

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com

Gửi văn hay nhận ngay phần thưởng