Bài 31 trang 19 SGK Toán 9 tập 1

a) So sánh. b) Chứng minh rằng.

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

LG a

So sánh \( \sqrt{25 - 16}\) và \(\sqrt {25} - \sqrt {16}\)

Phương pháp giải:

Tính cụ thể từng kết quả rồi so sánh

Lời giải chi tiết:

Ta có:

+) \( \sqrt {25 - 16} = \sqrt 9 =\sqrt{3^2}= 3.\)
+) \( \sqrt {25} - \sqrt {16} \)\(= \sqrt{5^2}-\sqrt{4^2}\)\(=5 - 4 = 1 \).

Vì \(3>1 \Leftrightarrow \sqrt {25 - 16}>\sqrt {25} - \sqrt {16} \).

Vậy \(\sqrt {25 - 16} > \sqrt {25} - \sqrt {16} \)

LG b

Chứng minh rằng: với \(a > b >0\) thì \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \)

Phương pháp giải:

+) Định lí so sánh hai căn bậc hai số học của hai số không âm:

\( a< b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b\).

+) \( \sqrt{ a^2} = a\), với \( a \ge 0\).

+) Sử dụng kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1: Với hai số dương \(a,b\) ta có: \(\sqrt {a + b} < \sqrt a + \sqrt b \)

Lời giải chi tiết:

Bài ra cho \(a > b > 0\) nên \(\sqrt a ,\sqrt b \) và \(\sqrt {a - b} \) đều xác định và dương.

Ta sẽ so sánh \(\sqrt a \) với \(\sqrt {a - b} + \sqrt b \)

Theo kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1, với hai số dương \(a-b\) và \(b,\) ta sẽ có:

\(\sqrt {a - b} + \sqrt b > \sqrt {a - b + b} \)

Suy ra:

\(\sqrt {a - b} + \sqrt b > \sqrt a \Leftrightarrow \sqrt {a - b} > \sqrt a - \sqrt b \)

Vậy \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \) với \(a > b > 0.\)

Cách khác 1:

Với \(a > b > 0\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt a > \sqrt b \\a - b > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt a - \sqrt b > 0\\\sqrt {a - b} > 0\end{array} \right.\)

Xét \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \) , bình phương hai vế ta được \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} < {\left( {\sqrt {a - b} } \right)^2} \)\(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt a } \right)^2} - 2.\sqrt a .\sqrt b + {\left( {\sqrt b } \right)^2} < a - b\)

\( \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b < a - b \)\(\Leftrightarrow 2b - 2\sqrt {ab} < 0\)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt b \left( {\sqrt b - \sqrt a } \right) < 0\) luôn đúng vì \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt b > 0\\\sqrt b - \sqrt a < 0\,\left( {do\,0 < b < a} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \) với \(a > b > 0.\)

Cách khác 2:

Bài ra cho \(a > b > 0\) nên \(\sqrt a ,\sqrt b \) và \(\sqrt {a - b} \) đều xác định và dương.

Ta sẽ so sánh \(\sqrt a \) với \(\sqrt {a - b} + \sqrt b \)

Ta có \(\sqrt {a - b} + \sqrt b \) là số dương và

\({\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)^2} \)\(= a - b + 2\sqrt {b\left( {a - b} \right)} + b \)\(= a + 2\sqrt {b\left( {a - b} \right)} \)

Rõ ràng \(2\sqrt {b(a - b)} > 0\) nên \({\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)^2} > a\) (1)

Ta có \(\sqrt a \) là số không âm và \({\left( {\sqrt a } \right)^2} = a\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

\({\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)^2} > {\left( {\sqrt a } \right)^2}\) (3)

Từ (3) theo định lí so sánh các căn bậc hai số học, ta suy ra

\(\sqrt {{{\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)}^2}} > \sqrt {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2}} \)