Bài 31 trang 19 SGK Toán 9 tập 1


Giải bài 31 trang 19 SGK Toán 9 tập 1. a) So sánh. b) Chứng minh rằng.

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

So sánh \( \sqrt{25 - 16}\) và \(\sqrt {25}  - \sqrt {16}\)

Phương pháp giải:

Tính cụ thể từng kết quả rồi so sánh

Lời giải chi tiết:

Ta có:

+) \( \sqrt {25 - 16} = \sqrt 9 =\sqrt{3^2}= 3.\)  
+) \( \sqrt {25} - \sqrt {16} \)\(= \sqrt{5^2}-\sqrt{4^2}\)\(=5 - 4 = 1 \).

Vì \(3>1 \Leftrightarrow \sqrt {25 - 16}>\sqrt {25} - \sqrt {16} \).

Vậy \(\sqrt {25 - 16}  > \sqrt {25}  - \sqrt {16} \)

LG b

Chứng minh rằng: với \(a > b >0\) thì \(\sqrt a  - \sqrt b  < \sqrt {a - b} \)

Phương pháp giải:

+) Định lí so sánh hai căn bậc hai số học của hai số không âm:

\( a< b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b\).

+) \( \sqrt{ a^2} = a\),  với \( a \ge 0\). 

+) Sử dụng kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1: Với hai số dương \(a,b\) ta có: \(\sqrt {a + b}  < \sqrt a  + \sqrt b \)

Lời giải chi tiết:

Bài ra cho \(a > b > 0\) nên \(\sqrt a ,\sqrt b \) và \(\sqrt {a - b} \) đều xác định và dương.

Ta sẽ so sánh \(\sqrt a \) với \(\sqrt {a - b}  + \sqrt b \) 

Theo kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1, với hai số dương \(a-b\) và \(b,\) ta sẽ có:

\(\sqrt {a - b}  + \sqrt b  > \sqrt {a - b + b} \) 

Suy ra: 

\(\sqrt {a - b}  + \sqrt b  > \sqrt a  \Leftrightarrow \sqrt {a - b}  > \sqrt a  - \sqrt b \)

Vậy \(\sqrt a  - \sqrt b  < \sqrt {a - b} \) với \(a > b > 0.\) 

Cách khác 1: 

Với \(a > b > 0\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt a  > \sqrt b \\a - b > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt a  - \sqrt b  > 0\\\sqrt {a - b}  > 0\end{array} \right.\) 

Xét \(\sqrt a  - \sqrt b  < \sqrt {a - b} \) , bình phương hai vế ta được \({\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} < {\left( {\sqrt {a - b} } \right)^2} \)\(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt a } \right)^2} - 2.\sqrt a .\sqrt b  + {\left( {\sqrt b } \right)^2} < a - b\)

\( \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab}  + b < a - b \)\(\Leftrightarrow 2b - 2\sqrt {ab}  < 0\)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt b \left( {\sqrt b  - \sqrt a } \right) < 0\)  luôn đúng vì  \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt b  > 0\\\sqrt b  - \sqrt a  < 0\,\left( {do\,0 < b < a} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(\sqrt a  - \sqrt b  < \sqrt {a - b} \) với \(a > b > 0.\)

Cách khác 2:

Bài ra cho \(a > b > 0\) nên \(\sqrt a ,\sqrt b \) và \(\sqrt {a - b} \) đều xác định và dương.

Ta sẽ so sánh \(\sqrt a \) với \(\sqrt {a - b}  + \sqrt b \)

Ta có \(\sqrt {a - b}  + \sqrt b \) là số dương và

\({\left( {\sqrt {a - b}  + \sqrt b } \right)^2} \)\(= a - b + 2\sqrt {b\left( {a - b} \right)}  + b \)\(= a + 2\sqrt {b\left( {a - b} \right)} \) 

Rõ ràng  \(2\sqrt {b(a - b)}  > 0\) nên \({\left( {\sqrt {a - b}  + \sqrt b } \right)^2} > a\)   (1)

Ta có \(\sqrt a \) là số không âm và \({\left( {\sqrt a } \right)^2} = a\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra

\({\left( {\sqrt {a - b}  + \sqrt b } \right)^2} > {\left( {\sqrt a } \right)^2}\)      (3)

Từ (3) theo định lí so sánh các căn bậc hai số học, ta suy ra

\(\sqrt {{{\left( {\sqrt {a - b}  + \sqrt b } \right)}^2}}  > \sqrt {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2}} \)

Hay \(\left| {\sqrt {a - b}  + \sqrt b } \right| > \left| {\sqrt a } \right|\)

Hay \(\sqrt {a - b}  + \sqrt b  > \sqrt a \)

Từ kết quả \(\sqrt a  < \sqrt {a - b}  + \sqrt b \), ta có \(\sqrt a  - \sqrt b  < \sqrt {a - b} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 136 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay

>>  Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài