Bài 22 trang 95 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O với hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H.

Đề bài

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O với hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh \(AH \bot BC\)

b) Tia AH cắt BC tại D. Chứng minh AF.AB = AH.AD = AE.AC

c) Chứng minh EB là tia phân giác của góc FED.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC.

b) Chứng minh \(\Delta AFH \sim \Delta ADB\,\,\left( {g.g} \right);\,\,\Delta AHE \sim \Delta ACD\,\,\left( {g.g} \right)\).

c) Chứng minh 4 điểm B, E, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC \( \Rightarrow \widehat {BEF} = \widehat {BCF}\).

    Chứng minh 4 điểm H, E, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính CH \( \Rightarrow \widehat {HED} = \widehat {BCF}\).

Từ đó suy ra \(\widehat {BEF} = \widehat {HED}\).

Lời giải chi tiết

 

a) H là giao điểm hai đường cao BE và CF của tam giác ABC \( \Rightarrow H\) là trực tâm tam giác ABC.

\( \Rightarrow AH \bot BC\).

b) Xét \(\Delta AHF\) và \(\Delta ABH\) có:

\(\widehat {AFH} = \widehat {ADB} = {90^0}\);

\(\widehat {BAD}\) chung;

\( \Rightarrow \Delta AFH \sim \Delta ADB\,\,\left( {g.g} \right) \)

\(\Rightarrow \dfrac{{AF}}{{AD}} = \dfrac{{AH}}{{AB}}\) \( \Rightarrow AF.AB = AH.AD\,\,\left( 1 \right)\).

Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta ACD\) có:

\(\widehat {AEH} = \widehat {ADC} = {90^0};\)

\(\widehat {CAD}\) chung;

\( \Rightarrow \Delta AHE \sim \Delta ACD\,\,\left( {g.g} \right) \)

\(\Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{AE}}{{AD}} \) \(\Rightarrow AH.AD = AE.AC\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AF.AB = AH.AD = AE.AC\).

c) Ta có \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = {90^0} \Rightarrow E;F\) thuộc đường tròn đường kính BC.

Xét đường tròn đường kính BC có: \(\widehat {BEF} = \widehat {BCF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) (1).

Ta cũng có: \(\widehat {HDC} = \widehat {HEC} = {90^0} \Rightarrow \) D, E cùng thuộc đường tròn đường kính CH.

Xét đường tròn đường kính CH có: \(\widehat {HED} = \widehat {BCF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) (2).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {BEF} = \widehat {HED}\,\,\left( { = \widehat {BCF}} \right) \Rightarrow EB\) là tia phân giác của \(\widehat {FED}\).

 Loigiaihay.com

Các bài liên quan: - Bài tập - Chủ đề 2 : Góc chắn cung

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa . Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu