Bài 13 trang 95 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm M. Vẽ tiếp tuyến

Đề bài

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm M. Vẽ tiếp tuyến MC với đường tròn. Gọi H là hình chiếu của C trên AB.

a) Chứng minh rằng CA là phân giác của góc \(\widehat {MCH}\).

b) Giả sử MA = a, MC = c, tính AB và CH.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh hai góc \(\widehat {ACM}\) và \(\widehat {ACH}\) cùng bằng \(\widehat {ABC}\).

b) Gọi bán kính của đường tròn đường kính AB là R.

+) Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OCM tính R, từ đó tính được AB.

+) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OCM tính CH.

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có \(\widehat {ACB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại C

\( \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {BAC} = {90^0}\) (hai góc nhọn trong tam giác vuông) hay \(\widehat {ABC} + \widehat {HAC} = {90^0}\)

\(\Delta AHC\) vuông tại H \( \Rightarrow \widehat {HAC} + \widehat {ACH} = {90^0}\) (hai góc nhọn trong tam giác vuông).

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACH}\) (cùng phụ với\(\widehat {HAC}\))

Lại có \(\widehat {ACM} = \widehat {ABC}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)

\( \Rightarrow \widehat {ACM} = \widehat {ACH} \Rightarrow CA\) là tia phân giác của \(\widehat {MCH}\).

b) Gọi bán kính của đường tròn đường kính AB là R

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OCM có :

\(\begin{array}{l}M{C^2} + O{C^2} = O{M^2} \\\Leftrightarrow {c^2} + {R^2} = {\left( {a + R} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {c^2} + {R^2} = {a^2} + 2aR + {R^2} \\\Leftrightarrow {a^2} + 2Ra - {c^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2R = \dfrac{{{c^2} - {a^2}}}{a} = AB \\\Rightarrow R = \dfrac{{{c^2} - {a^2}}}{{2a}}\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OCM có :

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{C{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{C^2}}} + \dfrac{1}{{C{M^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{C{H^2}}} = \dfrac{1}{{{R^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{C{H^2}}} = \dfrac{{4{a^2}}}{{{c^2} - {a^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{C{H^2}}} = \dfrac{{4{a^2}{c^2} + {c^2} - {a^2}}}{{{c^2}\left( {{c^2} - {a^2}} \right)}}\\ \Rightarrow C{H^2} = \dfrac{{{c^2}\left( {{c^2} - {a^2}} \right)}}{{4{a^2}{c^2} + {c^2} - {a^2}}}\\ \Rightarrow CH = \sqrt {\dfrac{{{c^2}\left( {{c^2} - {a^2}} \right)}}{{4{a^2}{c^2} + {c^2} - {a^2}}}} \end{array}\)

 Loigiaihay.com

Các bài liên quan: - Bài tập - Chủ đề 2 : Góc chắn cung

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa . Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu