Bài 20 trang 80 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Cho đường tròn O, đường kính AB. Qua trung điểm I của OA vẽ dây CD của (O) vuông góc với AB.

Đề bài

Cho đường tròn O, đường kính AB. Qua trung điểm I của OA vẽ dây CD của (O) vuông góc với AB.

a) Chứng minh ACOD là hình thoi.

b) Chứng minh tam giác BCD đều.

c) Vẽ dây CE // AB. Chứng minh D, O, E thẳng hàng.

d) Chứng minh ACEB là hình thang cân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh tứ giác ACOD có 4 cạnh bằng nhau.

b) Chứng minh \(\widehat {COD} = \widehat {DOB} = \widehat {COB}\), từ đó suy ra \(sd\,cung\,CD = sd\,cung\,DB = sd\,cung\,BC\), chứng tỏ tam giác BCD là tam giác có 3 cạnh bằng nhau.

c) Chứng minh tam giác OCE là tam giác đều, từ đo suy ra \(\widehat {COE} = {60^0}\). Chứng minh \(\widehat {DOE} = {180^0}\).

d) Chứng minh tức giác OCEB là hình thoi, từ đó suy ra OC // BE.

Tính góc EBA, chứng minh \(\widehat {EBA} = \widehat {CAO} = {60^0} \Rightarrow \) ACEB là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có CD vuông góc với OA tại trung điểm I của OA

\( \Rightarrow CD\) là trung trực của OA \( \Rightarrow CA = CO;\,\,DA = DO\) (điểm thuộc trung trực của 1 đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó).

Mà \(CO = DO = R \) \(\Rightarrow CA = CO = DA = DO \)

\(\Rightarrow \) tứ giác ACOD là hình thoi (Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau).

b) Xét tam giác OAC có \(CA = CO\,\,\left( {cmt} \right)\). Mà \(CO = OA = R \Rightarrow CA = CO = OA \) \(\Rightarrow \Delta OAC\) đều

\( \Rightarrow \widehat {AOC} = {60^0}\).

Vì ACOD là hình thoi nên OA là tia phân giác của góc COD \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {COD} = 2\widehat {AOC} = {120^0}\\\widehat {AOD} = \widehat {AOC} = {60^0}\end{array} \right.\)

Ta có: \(\widehat {AOC} + \widehat {COB} = {180^0}\) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {COB} = {180^0} - \widehat {AOC} = {180^0} - {60^0} = {120^0}\).

Tương tự: \(\widehat {AOD} + \widehat {DOB} = {180^0}\) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {DOB} = {180^0} - \widehat {AOD} = {180^0} - {60^0} = {120^0}\).

\( \Rightarrow \widehat {COD} = \widehat {DOB} = \widehat {COB} = {120^0}\) \( \Rightarrow sd\,cung\,CD = sd\,cung\,DB = sd\,cung\,BC\) \( \Rightarrow CD = DB = BC\) (hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau).

Do đó tam giác BCD là tam giác đều.

c) Vì CE // AB. Mà \(AB \bot CD \Rightarrow CE \bot CD\) tại C \( \Rightarrow \widehat {DCE} = {90^0}\).

Vì ACOD là hình thoi (cmt) nên tia CD là tia phân giác của góc ACO.

Mà tam giác OAC đều (cmt) \( \Rightarrow \widehat {ACO} = {60^0}\)\( \Rightarrow \widehat {DCO} = \dfrac{1}{2}\widehat {ACO} = \dfrac{1}{2}{.60^0} = {30^0}\)

Ta có \(\widehat {DCO} + \widehat {OCE} = \widehat {DCE}\)

\(\Leftrightarrow \widehat {OCE} = \widehat {DCE} - \widehat {DCO} = {90^0} - {30^0} = {60^0}\)

Xét tam giác OCE có \(\left\{ \begin{array}{l}OC = OE = R\\\widehat {OCE} = {60^0}\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \Delta OCE\) là tam giác đều \( \Rightarrow \widehat {COE} = {60^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {DOE} = \widehat {COD} + \widehat {COE} = {120^0} + {60^0} = {180^0} \)

\(\Rightarrow D;O;E\) thẳng hàng.

d) Tam giác BCD đều có : \(\dfrac{{OB}}{{OI}} = \dfrac{{OB}}{{OB + OI}} = \dfrac{{OA}}{{OA + OI}} = \dfrac{{2OI}}{{2OI + OI}} = \dfrac{2}{3} \)

\(\Rightarrow O\) là trọng tâm tam giác đều BCD.

\( \Rightarrow DO\) là đường trung trực của BC.

Mà \(E \in DO \Rightarrow EB = EC\).

Lại có \(OB = OC = R;\,\,EC = OC\) (\(\Delta OCE\) đều) \( \Rightarrow OB = OC = EB = EC \Rightarrow \) Tứ giác OCEB là hình thoi (Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau).

\( \Rightarrow OC//BE \Rightarrow \widehat {EBA} = \widehat {AOC}\) (hai góc đồng vị bằng nhau).

Mà \(\widehat {AOC} = {60^0}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {EBA} = {60^0}\).

Xét tứ giác ACEB có AE // BC nên ACEB là hình thang. Lại có \(\widehat {CAO} = \widehat {EBA} = {60^0} \Rightarrow ACEB\) là hình thang cân (Hình thang có 2 góc ở đáy bằng nhau).

 Loigiaihay.com

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com

Gửi văn hay nhận ngay phần thưởng