Giải bài tập Tài liệu Dạy - học Toán lớp 9, Phát triển tư duy đột phá trong dạy học Toán 9 Bài tập - Chủ đề 1: Đo góc và cung

Bài 20 trang 80 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2


Giải bài tập Cho đường tròn O, đường kính AB. Qua trung điểm I của OA vẽ dây CD của (O) vuông góc với AB.

Đề bài

Cho đường tròn O, đường kính AB. Qua trung điểm I của OA vẽ dây CD của (O) vuông góc với AB.

a) Chứng minh ACOD là hình thoi.

b) Chứng minh tam giác BCD đều.

c) Vẽ dây CE // AB. Chứng minh D, O, E thẳng hàng.

d) Chứng minh ACEB là hình thang cân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh tứ giác ACOD có 4 cạnh bằng nhau.

b) Chứng minh \(\widehat {COD} = \widehat {DOB} = \widehat {COB}\), từ đó suy ra \(sd\,cung\,CD = sd\,cung\,DB = sd\,cung\,BC\), chứng tỏ tam giác BCD là tam giác có 3 cạnh bằng nhau.

c) Chứng minh tam giác OCE là tam giác đều, từ đo suy ra \(\widehat {COE} = {60^0}\). Chứng minh \(\widehat {DOE} = {180^0}\).

d) Chứng minh tức giác OCEB là hình thoi, từ đó suy ra OC // BE.

Tính góc EBA, chứng minh \(\widehat {EBA} = \widehat {CAO} = {60^0} \Rightarrow \) ACEB là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có CD vuông góc với OA tại trung điểm I của OA

\( \Rightarrow CD\) là trung trực của OA \( \Rightarrow CA = CO;\,\,DA = DO\) (điểm thuộc trung trực của 1 đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó).

Mà \(CO = DO = R \) \(\Rightarrow CA = CO = DA = DO \)

\(\Rightarrow \) tứ giác ACOD là hình thoi (Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau).

b) Xét tam giác OAC có \(CA = CO\,\,\left( {cmt} \right)\). Mà \(CO = OA = R \Rightarrow CA = CO = OA \) \(\Rightarrow \Delta OAC\) đều

\( \Rightarrow \widehat {AOC} = {60^0}\).

Vì ACOD là hình thoi nên OA là tia phân giác của góc COD \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {COD} = 2\widehat {AOC} = {120^0}\\\widehat {AOD} = \widehat {AOC} = {60^0}\end{array} \right.\)

Ta có: \(\widehat {AOC} + \widehat {COB} = {180^0}\) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {COB} = {180^0} - \widehat {AOC} = {180^0} - {60^0} = {120^0}\).

Tương tự: \(\widehat {AOD} + \widehat {DOB} = {180^0}\) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {DOB} = {180^0} - \widehat {AOD} = {180^0} - {60^0} = {120^0}\).

\( \Rightarrow \widehat {COD} = \widehat {DOB} = \widehat {COB} = {120^0}\) \( \Rightarrow sd\,cung\,CD = sd\,cung\,DB = sd\,cung\,BC\) \( \Rightarrow CD = DB = BC\) (hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau).

Do đó tam giác BCD là tam giác đều.

c) Vì CE // AB. Mà \(AB \bot CD \Rightarrow CE \bot CD\) tại C \( \Rightarrow \widehat {DCE} = {90^0}\).

Vì ACOD là hình thoi (cmt) nên tia CD là tia phân giác của góc ACO.

Mà tam giác OAC đều (cmt) \( \Rightarrow \widehat {ACO} = {60^0}\)\( \Rightarrow \widehat {DCO} = \dfrac{1}{2}\widehat {ACO} = \dfrac{1}{2}{.60^0} = {30^0}\)

Ta có \(\widehat {DCO} + \widehat {OCE} = \widehat {DCE}\)

\(\Leftrightarrow \widehat {OCE} = \widehat {DCE} - \widehat {DCO} = {90^0} - {30^0} = {60^0}\)

Xét tam giác OCE có \(\left\{ \begin{array}{l}OC = OE = R\\\widehat {OCE} = {60^0}\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \Delta OCE\) là tam giác đều \( \Rightarrow \widehat {COE} = {60^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {DOE} = \widehat {COD} + \widehat {COE} = {120^0} + {60^0} = {180^0} \)

\(\Rightarrow D;O;E\) thẳng hàng.

d) Tam giác BCD đều có : \(\dfrac{{OB}}{{OI}} = \dfrac{{OB}}{{OB + OI}} = \dfrac{{OA}}{{OA + OI}} = \dfrac{{2OI}}{{2OI + OI}} = \dfrac{2}{3} \)

\(\Rightarrow O\) là trọng tâm tam giác đều BCD.

\( \Rightarrow DO\) là đường trung trực của BC.

Mà \(E \in DO \Rightarrow EB = EC\).

Lại có \(OB = OC = R;\,\,EC = OC\) (\(\Delta OCE\) đều) \( \Rightarrow OB = OC = EB = EC \Rightarrow \) Tứ giác OCEB là hình thoi (Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau).

\( \Rightarrow OC//BE \Rightarrow \widehat {EBA} = \widehat {AOC}\) (hai góc đồng vị bằng nhau).

Mà \(\widehat {AOC} = {60^0}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {EBA} = {60^0}\).

Xét tứ giác ACEB có AE // BC nên ACEB là hình thang. Lại có \(\widehat {CAO} = \widehat {EBA} = {60^0} \Rightarrow ACEB\) là hình thang cân (Hình thang có 2 góc ở đáy bằng nhau).

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store