Bài 16 trang 80 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Cho lục giác lồi ABCDEF có các đỉnh nằm trên một đường tròn và có hai cặp cạnh đối song

Đề bài

Cho lục giác lồi ABCDEF có các đỉnh nằm trên một đường tròn và có hai cặp cạnh đối song song AB // DE, BC // EF. Chứng minh rằng cặp cạnh đối còn lại cũng song song với nhau.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Gọi H, K, M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, DE BC, EF, AF, CD.

+) Chứng minh O; H; K thẳng hàng, O; M; N thẳng hàng.

+) Chứng minh \(\widehat {AOC} = \widehat {FOD};\,\,\widehat {AOP} = \widehat {FOP};\,\,\widehat {COQ} = \widehat {DOQ} \Rightarrow \widehat {POQ} = {180^0}\) , từ đó suy ra O; P; Q thẳng hàng.

+) Chứng minh AF và CD cùng vuông góc với PQ.

Lời giải chi tiết

 

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và DE ta có:

\(OH \bot AB;\,\,OK \bot DE\)(quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

Lại có \(AB//DE\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow OH \bot DE\)

Từ O ta có thể kẻ hai đường thẳng OH và OK cùng vuông góc với DE \( \Rightarrow O;H;K\)thẳng hàng.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và EF. Chứng minh tương tự ta có O, M, N thẳng hàng.

\( \Rightarrow \widehat {HOM} = \widehat {NOK}\) (đối đỉnh).

Xét tam giác OAB có \(\left\{ \begin{array}{l}OA = OB = R\\OH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {BOH} = \dfrac{1}{2}\widehat {AOB}\)

Xét tam giác OBC có \(\left\{ \begin{array}{l}OB = OC = R\\OM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {BOM} = \widehat {COM} = \dfrac{1}{2}\widehat {BOC}\)

\( \Rightarrow \widehat {AOB} + \widehat {BOC} = 2\widehat {BOH} + 2\widehat {BOM} = 2\widehat {HOM} \) \(\Leftrightarrow \widehat {AOC} = 2\widehat {HOM}\)

Chứng minh tương tự ta có \(\widehat {FOD} = 2\widehat {NOK}\)

Mà \(\widehat {HOM} = \widehat {NOK}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {AOC} = \widehat {FOD}\,\,\left( 1 \right)\).

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AE và CD.

Tam giác OAF cân tại O \(\left( {OA = OF = R} \right) \Rightarrow OP \bot AF \Rightarrow \) Đường cao OP đồng thời là phân giác \( \Rightarrow \widehat {AOP} = \widehat {FOP}\)  (2)

Chứng minh tương tự ta có \(\widehat {COQ} = \widehat {DOQ}\,\,\,\left( 3 \right)\).

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \widehat {AOC} + \widehat {AOP} + \widehat {COQ} = \widehat {FOD} + \widehat {FOP} + \widehat {DOQ}\)

\(\Rightarrow \widehat {POQ} = {180^0} \)

\(\Rightarrow O;P;Q\) thẳng hàng.

\( \Rightarrow OP \bot CD\).

Vậy \(AF//CD\) (cùng vuông góc với OP).

 Loigiaihay.com

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com

Gửi văn hay nhận ngay phần thưởng