
Đề bài
a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không ? Em hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.
b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh các tam giác bằng nhau.
Lời giải chi tiết
a) Gọi M là điểm chính giữa của cung AB ta có \(cung\,AM = cung\,BM \) \(\Rightarrow \widehat {AOM} = \widehat {BOM}\).
Gọi \(H = AB \cap OM\).
Xét tam giác AOH và tam giác BOH có:
\(OA = OB = R\);
\(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\,\,\left( {cmt} \right);\)
OH chung.
\( \Rightarrow \Delta AOH = \Delta BOH\,\,\left( {c.g.c} \right) \) \(\Rightarrow AH = BH \)
\(\Rightarrow H\) là trung điểm của AB.
Vậy đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
Mệnh đề đảo: Đường kính đi quan trung điểm của một dây cung thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy.
Gọi H là trung điểm của AB ta có \(AH = BH\). Kéo dài OH cắt đường tròn tâm O tại M.
Xét tam giác AOH và tam giác BOH có:
\(\begin{array}{l}OA = OB = R;\\OH\,\,chung;\\AH = BH\,\,\left( {gt} \right);\\ \Rightarrow \Delta AOH = \Delta BOH\,\,\left( {c.c.c} \right) \\\Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {BOH}\end{array}\)
Hay \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM} \)
\(\Rightarrow cung\,AM = cung\,BM \)
\(\Rightarrow M\) là điểm chính giữa của cung AB.
Vậy mệnh đề đảo đúng.
b) Theo ý a) ta chứng minh được \(\Delta AOH = \Delta BOH \Rightarrow \widehat {OHA} = \widehat {OHB}\).
Mà \(\widehat {OHA} + \widehat {OHB} = {180^0}\) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {OHA} = \widehat {OHB} = {90^0} \Rightarrow OM \bot AB\) tại H.
Vậy đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy.
Ngược lại: Ta cần chứng minh đường kính vuông góc với 1 dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy.
Ta có \(OM \bot AB\) tại H.
Xét tam giác vuông OAH và tam giác vuông OBH có :
\(\begin{array}{l}OA = OB = R\\OH\,\,chung\end{array}\)
\( \Rightarrow {\Delta }OAH = {\Delta }OBH\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông) \( \Rightarrow \widehat {AOM} = \widehat {BOM} \)
\(\Rightarrow cung\,AM = cung\,BM \)
\(\Rightarrow M\) là điểm chính giữa của cung AB.
Loigiaihay.com
Giải bài tập Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D (BD < BC). Vẽ đường tròn tâm
Giải bài tập Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm C, D. Vẽ dây cung CE
Giải bài tập Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R), (O; R’) với (R > R’), dây AB và CD của đường tròn (O; R)
Giải bài tập Cho lục giác lồi ABCDEF có các đỉnh nằm trên một đường tròn và có hai cặp cạnh đối song
Giải bài tập Trên đường tròn (O; R) lấy 4 điểm theo thứ tự A, B, C, D sao cho
Giải bài tập Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R.
Giải bài tập Cho (O) và dây AB của đường tròn O. Trên AB lấy hai điểm E và F sao cho AE = BF. Tia OE và tia OF cắt (O) lần lượt tại C và D.
Giải bài tập Cho đường tròn O, đường kính AB. Qua trung điểm I của OA vẽ dây CD của (O) vuông góc với AB.
Giải bài tập Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
Giải bài tập Hai đường tròn (O; r) và (O’ ; R) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Vẽ đường kính BOC và
Giải bài tập Hai đường tròn (O; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại A và B. Cho biết số đo hai cung nhỏ
Giải bài tập Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và
Giải bài tập Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao nhiêu vào những thời điểm sau:
Giải bài tập đường tròn (O) với hai cung
Giải bài tập Dây cung AB chia đường tròn tâm O thành hai cung. Cung lớn có số đo bằng ba lần cung nhỏ.
Giải bài tập Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua A và B vẽ hai dây song song AC và BD (điểm C và D
Giải bài tập Cho hai đường tròn đồng tâm
Giải bài tập Cho tam giác đều ABC. Vẽ nửa đường tròn đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại D và E.
Giải bài tập Cho đường tròn (O; 5 cm) và điểm M với OM = 10 cm. Qua M vẽ hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B. Tính các góc ở tâm xác định bởi hai tia OA và OB.
>> Xem thêm
Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?
Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!
Họ và tên:
Email / SĐT: