Tài liệu Dạy - học Toán 9

Bài tập - Chủ đề 1: Đo góc và cung

Bài 12 trang 79 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của

Xem thêm: Bài tập - Chủ đề 1: Đo góc và cung

Đề bài

a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không ? Em hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.

b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh các tam giác bằng nhau.

Lời giải chi tiết

 

a) Gọi M là điểm chính giữa của cung AB ta có \(cung\,AM = cung\,BM \) \(\Rightarrow \widehat {AOM} = \widehat {BOM}\).

Gọi \(H = AB \cap OM\).

Xét tam giác AOH và tam giác BOH có:

\(OA = OB = R\);

\(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\,\,\left( {cmt} \right);\)

OH chung.

\( \Rightarrow \Delta AOH = \Delta BOH\,\,\left( {c.g.c} \right) \) \(\Rightarrow AH = BH \)

\(\Rightarrow H\) là trung điểm của AB.

Vậy đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

Mệnh đề đảo: Đường kính đi quan trung điểm của một dây cung thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy.

Gọi H là trung điểm của AB ta có \(AH = BH\). Kéo dài OH cắt đường tròn tâm O tại M.

Xét tam giác AOH và tam giác BOH có:

\(\begin{array}{l}OA = OB = R;\\OH\,\,chung;\\AH = BH\,\,\left( {gt} \right);\\ \Rightarrow \Delta AOH = \Delta BOH\,\,\left( {c.c.c} \right) \\\Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {BOH}\end{array}\)

Hay \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM} \)

\(\Rightarrow cung\,AM = cung\,BM \)

\(\Rightarrow M\) là điểm chính giữa của cung AB.

Vậy mệnh đề đảo đúng.

b) Theo ý a) ta chứng minh được \(\Delta AOH = \Delta BOH \Rightarrow \widehat {OHA} = \widehat {OHB}\).

Mà \(\widehat {OHA} + \widehat {OHB} = {180^0}\) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {OHA} = \widehat {OHB} = {90^0} \Rightarrow OM \bot AB\) tại H.

Vậy đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy.

Ngược lại: Ta cần chứng minh đường kính vuông góc với 1 dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy.

Ta có \(OM \bot AB\) tại H.

Xét tam giác vuông OAH và tam giác vuông OBH có :

\(\begin{array}{l}OA = OB = R\\OH\,\,chung\end{array}\)

\( \Rightarrow {\Delta }OAH = {\Delta }OBH\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông) \( \Rightarrow \widehat {AOM} = \widehat {BOM} \)

\(\Rightarrow cung\,AM = cung\,BM \)

\(\Rightarrow M\) là điểm chính giữa của cung AB.

 Loigiaihay.com

Bài tiếp theo
Báo lỗi - Góp ý

Các bài liên quan: - Bài tập - Chủ đề 1: Đo góc và cung

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa . Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài khác cùng chuyên mục

Tải app để xem offline!hot

App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Các tác phẩm khác