Bài 50 trang 87 SGK Toán 9 tập 2

Cho đường tròn đường kính AB cố định.

Tổng hợp Đề thi vào 10 có đáp án và lời giải

Toán - Văn - Anh

Đề bài

Cho đường tròn đường kính \(AB\) cố định. \(M\) là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(I\) sao cho \(MI = 2MB.\)

a) Chứng minh \(\widehat{AIB}\) không đổi.

b) Tìm tập hợp các điểm \(I\) nói trên.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn

b) Chứng minh theo hai phần: Phần thuận và phần đảo.

Lập luận để có quỹ tích là cung chứa góc \(AIB\) dựng trên đoạn BC.

Chú ý đến giới hạn của quỹ tích.

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(O\) là trung điểm \(AB\). Xét đường tròn tâm \(O\) có \(\widehat {AMB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) hay \(AM \bot MB\)

Xét tam giác vuông \(MBI\) có \(MI = 2MB \Rightarrow \tan \widehat {MIB} = \dfrac{{MB}}{{MI}} = \dfrac{{MB}}{{2MB}} = \dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow \widehat {AIB} = \alpha =26^{0}34'\) không đổi

b) Phần thuận:

Khi điểm M thay đổi trên đường tròn đường kính AB thì điểm I thay đổi và luôn nhìn cạnh AB dưới một góc \(\widehat {AIB} = \alpha =26^{0}34'\) không đổi

Vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc \(\alpha=26^{0}34' \) dựng trên đoạn AB.

Nhưng tiếp tuyến PQ với đường tròn đường kính AB tại A là vị trí giới hạn của AM. Do đó điểm I thuộc hai cung \(PmB,Qm'B\).

Hai điểm P, Q là các điểm giới hạn của quỹ tích, điểm B là điểm đặc biệt của quỹ tích

Phần đảo:

Lấy điểm \(I'\) bất kỳ thuộc cung \(Qm'B\) (hoặc cung \(PmB\)). Nối \(AI'\) cắt đường tròn tâm \(O\) tại \(M'.\) Ta chứng minh \(M'I' = 2M'B.\)

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {AM'B}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {AM'B} = 90^\circ \Rightarrow AM' \bot BM' \Rightarrow \widehat {BM'I'} = 90^\circ \)

Xét tam giác \(BM'I'\) vuông ở \(M'\) có \(\widehat {BI'M'} = \alpha \) (do \(I'\) bất kỳ thuộc cung \(Qm'B\) là cung chứa góc \(\alpha \) dựng trên đoạn AB) nên \(\tan \widehat {BI'M'} = \tan \alpha = \dfrac{1}{2}\) mà \(\tan \widehat {BI'M'} = \dfrac{{BM'}}{{M'I'}} \Rightarrow \dfrac{{BM'}}{{M'I'}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow M'I' = 2BM'\)

Kết luận: Quỹ tích các điểm I là hai cung \(PmB,Qm'B\).