Bài 33 trang 80 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho \(A, B, C\) là ba điểm trên một đường tròn. \(At\) là tiếp  tuyến của đường tròn tại \(A\). Đường thẳng song song với \(At\) cắt \(AB\) tại \(M\) và cắt \(AC\) tại \(N\).

Chứng minh: \(AB. AM = AC . AN\)

Lời giải chi tiết

Xét đường tròn \((O)\) ta có: 

\(\widehat C\) là góc nội tiếp chắn cung \(AB\)

\(\widehat{BAt}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(AB.\)

\(\Rightarrow \widehat {BAt} = \widehat C.\)             (1)

Lại có vì \(MN//At\) nên  \(\widehat{AMN} = \widehat {BAt}\) (so le trong)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat{AMN} = \widehat C\)              (3)

Xét hai tam giác \(AMN\) và \(ACB\) ta có:

             \(\widehat A\) chung

             \(\widehat M = \widehat C \, \, (theo (3))\)

Vậy \(∆AMN\) đồng dạng \(∆ACB \, (g-g)\)

\(\displaystyle \Rightarrow {{AN} \over {AB}} = {{AM} \over {AC}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Rightarrow AB. AM = AC . AN\) (đpcm).

loigiaihay.com