Bài 3 trang 115 SGK Toán 8 tập 1


Giải bài 3 trang 115 SGK Toán 8 tập 1. Cho hình thoi ABCD

Đề bài

Cho hình thoi \(ABCD\) có \(\widehat A = {60^0}\). Gọi \(E, F, G, H\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DA\). Chứng minh rằng đa giác \(EBFGDH\) là lục giác đều.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng: 

- Hình thoi có tất cả các cạnh bằng nhau,

- Lục giác đều là hình có sáu cạnh bằng nhau và sáu góc bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Vì \(ABCD\) là hình thoi (giả thiết) và \(\widehat A = {60^0}\) (giả thiết)

Do đó \(AB = BC = CD = DA\); \(AB//DC;\,BC//AD\).

Lại có \(E,F,G,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC,CD,DA\) nên \(AE = EB = BF = FC = CG = GD\)\(\, = DH = HA\)

Vì \(AD//BC\) nên \(\widehat A + \widehat {ABC} = {180^0}\) (\(2\) góc trong cùng phía bù nhau)

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = {180^0} - \widehat A = {180^0} - {60^0} \)\(= {120^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ADC} = {120^0}\) (tính chất hình thoi)

\(\Delta EAH\) có \(AE=AH\) (chứng minh trên) và \(\widehat A=60^0\) nên là tam giác đều (vì tam giác cân có một góc \(60^0\) là tam giác đều)

\( \Rightarrow \widehat {AEH} = \widehat {AHE} = {60^0}\) và \(AE=EH=AH\) (tính chất tam giác đều) 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {AEH} + \widehat {HEB} = {180^0}\\
\widehat {AHE} + \widehat {EHD} = {180^0}
\end{array} \right.\)  (hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {HEB} = \widehat {EH{\rm{D}}} = {180^0} - {60^0} = {120^0}\)

Tương tự:

\(\Delta CFG\) có \(CF=CG\) (chứng minh trên) và \(\widehat C=\widehat A =60^0\) (do ABCD là hình thoi) nên là \(\Delta CFG\) tam giác đều (vì tam giác cân có một góc \(60^0\) là tam giác đều)

\( \Rightarrow \widehat {CFG} = \widehat {CGF} = {60^0}\) và \(CF=FG=CG\) (tính chất tam giác đều) 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {CFG} + \widehat {BFG} = {180^0}\\
\widehat {CGF} + \widehat {FGD} = {180^0}
\end{array} \right.\)  (hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {BFG} = \widehat {FGD} = {180^0} - {60^0} = {120^0}\)

Từ đó ta suy ra: \( EB = BF = GD=HD\)\(\, = EH= FG\) 

\(\widehat {ABC} = \widehat {ADC} \)\(=\widehat {HEB} = \widehat {EH{\rm{D}}}\)\(=\widehat {BFG} =\widehat{F GD} = {120^0}\)

Vậy đa giác \(EBFGDH\) có tất cả các góc bằng nhau, tất cả các cạnh bằng nhau ( bằng nửa cạnh hình thoi)

Nên \(EBFGDH\) là một lục giác đều (dấu hiệu nhận biết lục giác đều)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 146 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 1. Đa giác. Đa giác đều

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 8 - Xem ngay

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com mọi lúc, mọi nơi đầy đủ các môn: Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các thầy cô giáo dạy giỏi, nổi tiếng.


Gửi bài