Giải toán 9, giải bài tập toán lớp 9 đầy đủ đại số và hình học Bài 5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Bài 24 trang 111 SGK Toán 9 tập 1


Đề bài

Cho đường tròn \((O)\), dây \(AB\) khác đường kính. Qua \(O\) kẻ đường vuông góc với \(AB\), cắt tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn ở điểm \(C\). 

a) Chứng minh rằng \(CB\) là tiếp tuyến của đường tròn.

b) Cho bán kính của đường tròn bằng \(15cm,\ AB=24cm\). Tính độ dài \(OC\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Dùng dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Sử dụng tính chất:

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm đó.

b) Sử dụng định lí Pytago: \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), khi đó: \(BC^2=AC^2+AB^2\).

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(\Delta ABC\), vuông tại \(A\), \(AH \bot BC\), khi đó: \(AB^2=BH.BC\). 

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(H\) là giao điểm của \(OC\) và \(AB\).

Xét đường tròn (O) có \(OH\perp AB\) tại H mà OH là 1 phần đường kính và AB là dây của đường tròn nên \(HA=HB=\dfrac{AB}2\) (Định lý 2 - trang 103).

Suy ra \(OC\) là đường trung trực của \(AB\), do đó \(CB=CA\) (tính chất)

Xét \(\Delta CBO\) và \(\Delta CAO\) có:

\(CO\) chung 

\(CA=CB\) (chứng minh trên) 

\(OB=OA=R\)

Suy ra \(\Delta CBO=\Delta CAO\) (c.c.c)

\(\Rightarrow \widehat{CBO}=\widehat{CAO}\)( 2 góc tương ứng)  (1)

Vì \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) nên:

\(AC\perp OA\Rightarrow \widehat{CAO}=90^{\circ}\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{CBO}=90^{\circ}\).

Tức là \(CB\) vuông góc với \(OB\), mà \(OB\) là bán kính của \((O)\).

Vậy \(CB\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\).

b) Ta có: \(OA=OB=R=15 cm;\)

\(\ HA=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{24}{2}=12 cm\).

Xét tam giác \(HOA\) vuông tại \(H\), áp dụng định lí Pytago, ta có: 

\(OA^2=OH^2+AH^2\)

\(\Leftrightarrow OH^{2}=OA^{2}-AH^{2}=15^{2}-12^{2}=81\)

\(\Rightarrow OH=\sqrt{81}=9(cm)\)

Xét tam giác \(BOC\) vuông tại \(B\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(OB^{2}=OC\cdot OH \Rightarrow OC=\dfrac{OB^{2}}{OH}=\dfrac{15^2}{9}=25(cm).\)


Bình chọn:
4.5 trên 117 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua