Bài 24 trang 111 SGK Toán 9 tập 1

Giải bài 24 trang 111 SGK Toán 9 tập 1. Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB,...

Đề bài

Cho đường tròn \((O)\), dây \(AB\) khác đường kính. Qua \(O\) kẻ đường vuông góc với \(AB\), cắt tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn ở điểm \(C\).

a) Chứng minh rằng \(CB\) là tiếp tuyến của đường tròn.

b) Cho bán kính của đường tròn bằng \(15cm,\ AB=24cm\). Tính độ dài \(OC\).

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(H\) là giao điểm của \(OC\) và \(AB\).

Vì \(OH\perp AB\)  nên \(HA=HB\) (ĐL 2 - trang 103).

Suy ra \(OC\) là đường trung trực của \(AB\), do đó \(CB=CA.\)

Xét \(\Delta CBO\) và \(\Delta CAO\) có:

\(CO\) chung  (GT)

\(CA=CB\) (cmt)

\(OB=OA=R\)

Suy ra \(\Delta CBO=\Delta CAO\) (c.c.c)

\(\Rightarrow \widehat{CBO}=\widehat{CAO}\).  (1)

Vì \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) nên:

\(AC\perp OA\Rightarrow \widehat{CAO}=90^{\circ}\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{CBO}=90^{\circ}\).

Tức là \(CB\) vuông góc với \(OB\), mà \(OB\) là bán kính của \((O)\).

Vậy \(CB\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\).

b) Ta có: \(OA=OB=R=15;\)

\(\ HA=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{24}{2}=12\).

Xét tam giác \(HOA\) vuông tại \(H\), áp dụng định lí Pytago, ta có: 

\(OA^2=OH^2+AH^2\)

\(\Leftrightarrow OH^{2}=OA^{2}-AH^{2}=15^{2}-12^{2}=81\)

\(\Rightarrow OH=\sqrt{81}=9(cm)\)

Xét tam giác \(BOC\) vuông tại \(B\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(OB^{2}=OC\cdot OH \Rightarrow OC=\dfrac{OB^{2}}{OH}=\dfrac{15^2}{9}=25(cm).\)

Loigiaihay.com