Bài 22 trang 76 SGK Toán 9 tập 2


Đề bài

Trên đường tròn \((O)\) đường kính \(AB\), lấy điểm \(M\) (khác \(A\) và \(B\)). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại \(A\). Đường thẳng \(BM\) cắt tiếp tuyến đó tại \(C\). Chứng minh rằng ta luôn có: \(M{A^2} = MB.MC\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

+ Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

+ Hoặc ta chứng minh \(\Delta {\rm M}{\rm A}{\rm B}\) đồng dạng với \(\Delta MCA\) từ đó suy ra tỉ lệ cạnh để có đẳng thức cần chứng minh. 

Lời giải chi tiết

 

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra \(AM \bot BC\)

Lại có \(AC\) là tiếp tuyến tại A nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)

Xét tam giác ABC vuông tại A có AM là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(M{A^2} = MB.MC\) (đpcm) 

Cách khác:

+ Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra \(AM \bot BC \Rightarrow \widehat {CMA} = 90^\circ \).

 Lại có \(AC\) là tiếp tuyến nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ .\)

+ Ta có \(\widehat {MBA} + \widehat {MAB} = 90^\circ \) (vì tam giác \(MAB\) vuông tại \(M\) ) và \(\widehat {MAB} + \widehat {MAC} = 90^\circ \) (do \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)) nên \(\widehat {MBA} = \widehat {MAC}\)

+ Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MCA\) có \(\widehat M\) chung và \(\widehat {MBA} = \widehat {MAC}\) (cmt) nên \(\Delta {\rm M}{\rm A}{\rm B}\) đồng dạng với \(\Delta MCA\left( {g - g} \right)\) suy ra \(\dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{MB}}{{MA}} \Rightarrow M{A^2} = MB.MC\) (đpcm)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 74 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 3. Góc nội tiếp

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.