Bài 14 trang 72 SGK Toán 9 tập 2

a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy

Đề bài

a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.

b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất tam giác cân

Chứng minh hai góc ở tâm bằng nhau để suy ra các cung bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Giả sử đường tròn $(O)$ có đường IK và I là điểm chính giữa cung AB.

a) Vì $I$ là điểm chính giữa của $\overparen{AB}$ , suy ra $\overparen{IA}$ = $\overparen{IB}$ $⇒ IA = IB$

Ta có: $OA = OB =$ bán kính. Suy ra đường kính $IK$ là đường trung trực của dây $AB$ . Vậy $HA = HB$ (đpcm)

Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.

Chứng minh: Vì $∆ AOB$ cân tại $O$ và $HA = HB$ nên $OH$ là đường phân giác của góc $\widehat{AOB}$ . Suy ra $\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}$

Từ đó suy ra $\overparen{IA}$ = $\overparen{IB}$

Tuy nhiên khi $AB$ đi qua tâm thì điều này chưa chắc đúng vì nếu $AB$ tạo với $IK$ góc $\widehat {AOI} = 30^\circ \Rightarrow \widehat {BOI} = 150^\circ$ $\Rightarrow \overparen{IA}<\overparen{IB}$ ( vì $\widehat {AOI}<\widehat {BOI}$

Vậy phải thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng là:

Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.

b) Vì $I$ là điểm chính giữa của $\overparen{AB}$ , suy ra $\overparen{IA}$ = $\overparen{IB}$ $⇒ IA = IB$

Ta có: $OA = OB =$ bán kính. Suy ra đường kính $IK$ là đường trung trực của dây $AB$

Nên $OI$ hay $IK$ là đường trung trực của dây $AB$ . Suy ra $IK \bot AB$ .

* Điều ngược lại: Đường kính vuông góc ở dây khi qua tâm thì đi qua hai điểm chính giữa của cung căng dây đó.

Kẻ đường kính $KI \bot AB$ .

Ta có $OA = OB ⇒ ∆OAB$ cân tại $O$

Mà $OH \bot AB$ nên $OH$ là đường cao đồng thời là đường phân giác của $\widehat{AOB}$ suy ra $\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}$

Ta có $∆OAI = ∆OBI$ (c.g.c). Do đó $AI = IB$ . Suy ra $\overparen{AI}$ = $\overparen{IB}$ .

Vậy $I$ là điểm chính giữa của $\overparen{AB}$

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.4 trên 74 phiếu

Bài tiếp theo

Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 1 - Bái 2 - Chương 3 - Hình học 9
Giải Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 1 - Bái 2 - Chương 3 - Hình học 9
Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 2 - Bài 2 - Chương 3 - Hình học 9
Giải Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 2 - Bài 2 - Chương 3 - Hình học 9
Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 3 - Bài 2 - Chương 3 - Hình học 9
Giải Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 3 - Bài 2 - Chương 3 - Hình học 9
Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 4 - Bài 2 - Chương 3 - Hình học 9
Giải Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 4 - Bài 2 - Chương 3 - Hình học 9
Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 5 - Bài 2 - Chương 3 - Hình học 9
Giải Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 5 - Bài 2 - Chương 3 - Hình học 9
Bài 13 trang 72 SGK Toán 9 tập 2
Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
Bài 12 trang 72 SGK Toán 9 tập 2
Cho tam giác ABC
Bài 11 trang 72 SGK Toán 9 tập 2
Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B
Bài 10 trang 71 SGK Toán 9 tập 2
a) Vẽ đường tròn tâm O bán kinh R = 2 cm.
Trả lời câu hỏi 2 Bài 2 trang 71 Toán 9 Tập 2
Hãy viết giả thiết và kết luận của định lý
Trả lời câu hỏi 1 Bài 2 trang 71 Toán 9 Tập 2
Hãy chứng minh định lý trên.
Lý thuyết liên hệ giữa cung và dây
Định lí liên hệ giữa cung và dây

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.