Bài 4.5 phần bài tập bổ sung trang 159 SBT toán 8 tập 2


Giải bài 4.5 phần bài tập bổ sung trang 159 sách bài tập toán 8. Cho hình chóp cụt đều có đáy là hình vuông, các cạnh đáy là a và b. Biết diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy ...

Đề bài

Cho hình chóp cụt đều có đáy là hình vuông, các cạnh đáy là \(a\) và \(b.\) Biết diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy, tính chiều cao của hình chóp cụt đều.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích các mặt bên hoặc bằng chu vi đáy nhân với chiều cao.

- Định lí Pytago trong tam giác vuông: Bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của các cạnh góc vuông.

Lời giải chi tiết

Xét hình chóp cụt đều \(ABCD.A’B’C’D’\) như hình vẽ.

Gọi \(M, M’\) thứ tự là trung điểm của \(BC, B’C’.\) Khi đó \(MM’\) là đường cao của hình thang cân \(BCC’B’\).

Do đó diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều là:

\(\displaystyle{S_{xq}} = 4.{{a + b} \over 2}.MM' \)\(\,= \left( {2a + 2b} \right).MM'\)

Theo giả thiết, diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy ta có:

\(\left( {2a + 2b} \right).MM' = {a^2} + {b^2}\)

hay \( \displaystyle MM' = {{{a^2} + {b^2}} \over {2\left( {a + b} \right)}}\)         (1)

Dễ thấy \(OM // O’M’\) nên \(OM\) và \(O’M’\) xác định mặt phẳng \((OMM’O’)\).

Vì OM là đường trung bình của tam giác ABC nên \(OM=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}\)

Vì \(O'M'\) là đường trung bình của tam giác \(A'B'C'\) nên \(O'M'=\dfrac{A'B'}{2}=\dfrac{b}{2}\)

Trong mặt phẳng \((OMM’O’)\), kẻ \(MH ⊥ O’M’\).

Khi đó \(OMHO'\) là hình chữ nhật nên \(O'H=OM=\dfrac{a}{2},\)\(MH=OO'=h\)

Suy ra \(HM’ = O’M’ - O’H = \displaystyle {{b - a} \over 2}\)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(MHM’ \), ta có:

\(MM{'^2} = M{H^2} + HM{'^2} \)\(\,\displaystyle = {h^2} + {\left( {{{b - a} \over 2}} \right)^2}\)        (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\begin{array}{l}
{h^2} + {\left( {\dfrac{{b - a}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}{{4{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\\
\Rightarrow {h^2} = \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}{{4{{\left( {a + b} \right)}^2}}} - \dfrac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{4}\\
= \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2} - {{\left( {b - a} \right)}^2}.{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{4{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2} - {{\left[ {\left( {b - a} \right).\left( {a + b} \right)} \right]}^2}}}{{4{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2} - {{\left( {{b^2} - {a^2}} \right)}^2}}}{{4{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2} + {a^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - {a^2} + {b^2}} \right)}}{{4{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{2{a^2}.2{b^2}}}{{4{{\left( {a + b} \right)}^2}}}= \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}
\end{array}\)

Vậy \(\displaystyle h = {{ab} \over {a + b}}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com mọi lúc, mọi nơi đầy đủ các môn: Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các thầy cô giáo dạy giỏi, nổi tiếng.


Gửi bài