Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 7 - Chương 2 - Hình học 9


Giải Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 7 - Chương 2 - Hình học 9

Đề bài

Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (O) qua A và tiếp xúc với BC tại B. Vẽ đường tròn (O’) qua A và tiếp xúc với BC tại C.

a. Chứng minh rằng (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A.

b. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng : \(\widehat {OIO'} = 90^\circ \) và \(AI ⊥ OO’\).

c. Tính các cạnh của ∆ABC biết bán kính của hai đường tròn là R và R’.

Lời giải chi tiết

a. (O) và (O’) tiếp xúc với BC tại B và C nên \(OB ⊥ BC\) và \(O’C ⊥ BC\)

hay \({\widehat B_1} + {\widehat B_2} + {\widehat C_1} + {\widehat C_2} = 180^\circ ,\)

mà \({\widehat B_2} + {\widehat C_2} = 90^\circ \) (do ∆ABC vuông tại A) \( \Rightarrow {\widehat B_1} + {\widehat C_1} = 90^\circ \)

∆BOA và ∆CO’A cân tại O và O’ nên.

\(\eqalign{  & {\widehat B_1} = {\widehat A_1},{\widehat C_1} = {\widehat A_2}  \cr  &  \Rightarrow {\widehat A_1} + {\widehat A_2} = 90^\circ  \cr} \)

Do đó \({\widehat A_1} + \widehat {BAC} + {\widehat A_2} = 180^\circ \)

Vậy ba điểm O, A, O’ thẳng hàng.

Mặt khác : \(OO’ = OA + AO’\)

nên (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A.

b. I là trung điểm của BC (gt) nên AI là trung tuyến của ∆ABC vuông tại A \(⇒ IA = IB = IC.\)

Do đó \(∆IAO = ∆IBO\) (c.c.c) \( \Rightarrow \widehat {IAO} = \widehat {IBO} = 90^\circ \)

⇒ AI là tiếp tuyến của (O) và (O’). Do đó IO và IO’ là phân giác của các góc kề bù AIB và AIC \( \Rightarrow \widehat {OIO'} = 90^\circ \)

Cách khác : Ta có: \(IA = IB, OA = OB ⇒ OI\) là trung trực của AB

\(⇒ OI ⊥ AB\) hay \(\widehat {AHI} = 90^\circ \) (H là giao điểm của OI và AB).

Chứng minh tương tự có \(\widehat {AKI} = 90^\circ \) (K là giao điểm của O’I và AC) nên AHIK là hình chữ nhật \( \Rightarrow \widehat {OIO'} = 90^\circ \)

c. ∆OIO’ vuông có AI là đường cao ta có:

\(A{I^2} = AO.AO' \Rightarrow AI = \sqrt {R.R'} \). Do đó: \(BC = 2\sqrt {R.R'} \)

Gọi H là giao điểm của OI và AB. ∆OAI vuông tại A (cmt) có AH là đường cao, ta có:

\({1 \over {A{H^2}}} = {1 \over {A{O^2}}} + {1 \over {A{I^2}}}\) (định lí 4)

hay

\(\eqalign{  & {1 \over {A{H^2}}} = {1 \over {{R^2}}} + {1 \over {{{\left( {\sqrt {R.R'} } \right)}^2}}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {1 \over {{R^2}}} + {1 \over {R.R'}} = {{R' + R} \over {{R^2}R'}}  \cr  &  \Rightarrow AH = R\sqrt {{{R'} \over {R + R'}}} \cr& \Rightarrow AB = 2AH = 2R\sqrt {{{R'} \over {R + R'}}}  \cr} \)

Tương tự \(AC = 2R'\sqrt {{R \over {R + R'}}} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.2 trên 5 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay

>>  Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài