Bài 4 trang 175 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lây điểm M, trên tia đối của tia CA lấy

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lây điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho MB = NC. Kẻ \(MI \bot BC(I \in BC)\)  và \(NK \bot BC(K \in BC).\)  Chứng minh rằng :

a) \(\Delta MBI = \Delta NCK.\)

b) \(\Delta AIK\) cân.

c) IK // MN.

Lời giải chi tiết

 

a)Ta có: \(\eqalign{  & \widehat {ABC} = \widehat {IBM}  \cr  & \widehat {ACB} = \widehat {KCN} \cr} \)  (hai góc đối đỉnh)

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}(\Delta ABC\) cân tại A) nên \(\widehat {IBM} = \widehat {KCN.}\)

Xét tam giác MBI vuông tại I và tam giác NCK vuông tại K ta có:

\(\eqalign{  & \widehat {IBM} = \widehat {KCN}(cmt)  \cr  & MB = NC(gt) \cr} \)

Do đó: \(\Delta MBI = \Delta NCK\)  (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Ta có: AB = AC (tam giác ABC cân tại A) và BM = CN (giả thiết)

=>AB + BM = AC + CN => AM = AN.

Xét tam giác AIM và AKN ta có:

\(\eqalign{  & IM = KN(\Delta MBI = \Delta NCK)  \cr  & \widehat {IMA} = \widehat {KNA}(\Delta MBI = \Delta NCK) \cr} \)

Do đó: \(\Delta AIM = \Delta AKN(c.g.c) \Rightarrow AI = AK.\)   Vậy tam giác AIK cân tại A.

c) Tam giác ABC cân tại A \(\Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB}.\)  Do đó: \(\widehat {ABC} = {{{{180}^0} - \widehat {BAC}} \over 2}(1)\)

Mặt khác AM = AN => tam giác AMN cân tại A \(\Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {ANM}.\)

Do đó: \(\widehat {AMN} = {{{{180}^0} - \widehat {BAC}} \over 2}(2)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(\widehat {ABC} = \widehat {AMN}.\)

Mà hai góc ABC và AMN đồng vị. Vậy IK // MN.

Loigiaihay.com

Các bài liên quan: - Ôn tập chương 2 - Hình học 7