Bài 2 trang 175 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Cho tam giác ABC cân tại A.

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ \(BM \bot AC(M \in AC),CN \bot AB(N \in AB).\)

a) Chứng minh rằng \(\Delta BMC = \Delta CNB.\)

b) Gọi I là giao điểm của BM với CN. Chứng minh rằng \(\Delta AIN = \Delta AIM.\)

c) AI cắt BC tại H, biết AB = 10 cm, BC = 12 cm. Tính AH.

Lời giải chi tiết

 

a)Xét tam giác BMC vuông tại M và CNB vuông tại N có:

BC là cạnh chung.

\(\widehat {MCB} = \widehat {NBC}\)   (tam giác ABC cân tại A)

Do đó: \(\Delta BMC = \Delta CVB\)  (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Ta có: AN + NB = AB và AM + MC = AC.

Mà AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

Nên AN + NB = AM + MC.

Vì BN = MC \((\Delta BMC = \Delta CNB)\)

Nên AN = AM.

Xét tam giác ANI vuông tại N và AMI vuông tại M ta có:

AI là cạnh chung.

AN = AM (chứng minh trên)

Do đó: \(\Delta ANI = \Delta AMI\)  (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

c)Xét tam giác ABH và ACH ta có:

AB = AC (tam giác ACB cân tại A)

AH là cạnh chung.

\(\widehat {BAH} = \widehat {CAH}(\Delta ANI = \Delta AMI)\)

Do đó: \(\Delta ABH = \Delta ACH(c.g.c) \Rightarrow BH = CH;\widehat {AHB} = \widehat {AHC}\)

Do đó: \(BH = CH = {{BC} \over 2} = {{12} \over 2} = 6(cm).\)

\(\widehat {AHB} + \widehat {AHC} = {180^0}\)   (hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {AHB} + \widehat {AHB} = {180^0}(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}) \Rightarrow 2\widehat {AHB} = {180^0} \Rightarrow \widehat {AHB} = {90^0} \Rightarrow AH \bot BC\)

Tam giác ABH vuông tại H \(\Rightarrow A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}\)   (định lí Pythagore).

Do đó: \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {10^2} - {6^2} = 100 - 36 = 64.\)

Mà AH > 0. Vậy \(AH = \sqrt {64}  = 8(cm).\)

Loigiaihay.com

Các bài liên quan: - Ôn tập chương 2 - Hình học 7