Bài 17 trang 146 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A.

Đề bài

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Gọi M là giao điểm của một trong hai tiếp tuyến chung ngoài BC \(\left( {B \in \left( O \right),C \in \left( {O'} \right)} \right)\) và tiếp tuyến chung trong A. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’ tại M.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Chứng minh \(IM \bot BC\), với \(I\) là trung điểm của \(OO'\).

+) Chứng minh \(M\) thuộc đường tròn đường kính \(OO'\).

Lời giải chi tiết

 

Gọi \(I\) là trung điểm của \(OO' \Rightarrow I\) là tâm đường tròn đường kính \(OO'\).

Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MA = MB\\MA = MC\end{array} \right. \Rightarrow MB = MC \Rightarrow M\) là trung điểm của \(BC\).

Vì \(BC\) là tiếp tuyến chung ngoài của \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}OB \bot BC\\O'C \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow OB//O'C \Rightarrow \) Tứ giác \(OBCO'\) là hình thang.

Xét hình thang \(OBCO'\) có:

\(I\) là trung điểm của \(OO'\) (cách dựng)

\(M\) là trung điểm của \(BC\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow IM\) là đường trung bình của hình thang \(OBCO' \Rightarrow IM//OB//O'C\).

Mà \(OB \bot BC \Rightarrow IM \bot BC\) tại \(M\) (1).

Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:

\(MO\) là tia phân giác của \(\angle AMB\) ;

\(MO'\) là tia phân giác của \(\angle AMC\).

Mà \(\angle AMB\) và \(\angle AMC\) là 2 góc kề bù \( \Rightarrow MO \bot MO' \Rightarrow \angle OMO' = {90^0} \Rightarrow M\) thuộc đường tròn đường kính \(OO'\)  (2).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow BC\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(OO'\).

 Loigiaihay.com

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com

Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay