Giải bài tập Tài liệu Dạy - học Toán lớp 9, Phát triển tư duy đột phá trong dạy học Toán 9 Bài tập - Chủ đề 7 : Đường thẳng và đường tròn.

Bài 10 trang 146 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1


Giải bài tập Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho AC = R.

Đề bài

Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho AC = R.

a) Chứng minh rằng góc ACB bằng \({90^o}\), suy ra độ dài BC.

b) Gọi I là trung điểm của dây AC. OI cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại M. Chứng minh rằng OM là phân giác góc COA và MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) MC cắt tiếp tuyến By của đường tròn (O) tại N. Chứng minh rằng : MN = AM + BN và số đo góc MON bằng \({90^o}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông, áp dụng định lí Pytago.

b) Sử dụng quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung và tính chất của tam giác cân. Chứng minh \(\angle OCM = {90^0}\).

c) Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau và mối quan hệ giữa tia phân giác của 2 góc kề bù.

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có: \(OC = OA = OB = \dfrac{1}{2}AB \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(C\) (Định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow \angle ACB = {90^0}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC\) ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} - A{C^2} = {\left( {2R} \right)^2} - {R^2} = 3{R^2}\)

\(\Leftrightarrow BC = R\sqrt 3 \).

b) Vì \(I\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow OI \bot AC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Xét \(\Delta OAC\) có \(OI\) là trung tuyến đồng thời là đường cao \( \Rightarrow \Delta OAC\) cân tại \(O \Rightarrow OI\) là phân giác của \(\angle AOC\) hay \(OM\) là phân giác của \(\angle AOC\).

Ta có \(OM\) là trung trực của AC (Trong tam giác cân, đường cao đồng thời là trung trực).

Vì \(M\) thuộc trung trực của \(AC\) nên \(MA = MC \Rightarrow \Delta MAC\) cân tại \(M\).

\( \Rightarrow \angle MAC = \angle MCA\,\,\left( 1 \right)\)

\(\Delta OAC\) cân tại \(O \Rightarrow \angle OAC = \angle OCA\)  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle MCA + \angle OCA = \angle MAC + \angle OAC \)

\(\Rightarrow \angle OCM = \angle OAM = {90^0}\).

\( \Rightarrow MC \bot OC\) tại \(C\). Mà \(OC\) là bán kính của \(\left( O \right)\).

Vậy \(MC\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

c) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}MC = MA\\NC = NB\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow MN = MC + NC = AM + BN\)

Ta có : OM là tia phân giác của \(\angle AOC\), ON là tia phân giác của \(\angle BOC\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

Mà \(\angle AOC\) và \(\angle BOC\) là hai góc kề bù \( \Rightarrow OM \bot ON \Rightarrow \angle MON = {90^0}\).

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.1 trên 8 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store