Giải SBT toán hình học và giải tích 12 cơ bản
Ôn tập chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số L..
Bài 2.96 trang 136 SBT giải tích 12
Giải bài 2.96 trang 136 sách bài tập giải tích 12. Phương trình có bao nhiêu nghiệm?...
Đề bài
Phương trình \(\displaystyle 1 + {3^{\frac{x}{2}}} = {2^x}\) có bao nhiêu nghiệm?
A. \(\displaystyle 0\) B. \(\displaystyle 1\)
C. \(\displaystyle 2\) D. Vô số
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chia cả hai vế của phương trình cho \(\displaystyle {2^x}\) và sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\displaystyle 1 + {3^{\frac{x}{2}}} = {2^x}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 + {\left( {{3^{\frac{1}{2}}}} \right)^x} = {2^x}\\
\Leftrightarrow 1 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^x} = {2^x}
\end{array}\)
Chia cả hai vế của phương trình cho \(2^x\) ta được:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{{2^x}}} + \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^x}}}{{{2^x}}} = 1\\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x} = 1
\end{array}\)
Xét hàm \(f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}\) có
\(f'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\ln \frac{1}{2} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}\ln \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 0\) với mọi \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\)
vì \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\ln \frac{1}{2} < 0\) và \({\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}\ln \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 0\)
Do đó hàm số \(\displaystyle f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\displaystyle \mathbb{R}\).
Mà \(\displaystyle f\left( 2 \right) = 1\) nên phương trình có nghiệm duy nhất \(\displaystyle x = 2\).
Chọn B.
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 2.97 trang 137 SBT giải tích 12
- Bài 2.98 trang 137 SBT giải tích 12
- Bài 2.99 trang 137 SBT giải tích 12
- Bài 2.100 trang 137 SBT giải tích 12
- Bài 2.101 trang 137 SBT giải tích 12
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay
Group ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
Danh sách bình luận