Đề 3 trang 225 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

ĐỀ 3.

Câu 1 trang 225 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12 (4 điểm)

Cho hàm số: \(y =  - {x^3} + 3x - 2\)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 0).

3) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình \( - {x^3} + 3x - 2 = {\log _3}m\)

Hướng dẫn làm bài

1) Vẽ biểu đồ

2) Ta có:  y’(1) = 0. Vậy phương trình của tiếp tuyến là y = 0

3) Dựa vào đồ thị (C) và đường thẳng \(y = {\log _3}m\) , ta có:

* Khi \({\log _3}m <  - 4 \Leftrightarrow m < {1 \over {81}}\), phương trình có một nghiệm

* Khi \({\log _3}m =  - 4 \Leftrightarrow m = {1 \over {81}}\), phương trình có hai nghiệm.

* Khi \(0 > {\log _3}m >  - 4 \Leftrightarrow 1 > m > {1 \over {81}}\), phương trình có ba nghiệm.

* Khi \({\log _3}m = 0 \Leftrightarrow m = 1\), phương trình có hai nghiệm.

* Khi \({\log _3}m > 0 \Leftrightarrow m > 1\) , phương trình có một nghiệm.

Kết luận:

* Phương trình có một nghiệm khi m > 1 hoặc \(m < {1 \over {81}}\)

* Phương trình có hai nghiệm khi m = 1 hoặc  \(m = {1 \over {81}}\)

* Phương trình có ba nghiệm khi \({1 \over {81}} < m < 1\) .

Câu 2 trang 225 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12 (3 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

1)  \(f(x) = \ln ({x^2} + x - 2)\)    trên đoạn  [3; 6]

2)  \(f(x) = {\cos ^2}x + \cos x + 3\)

Hướng dẫn làm bài

1)  f(x) xác định trên R\[-2; 1] nên xác định trên đoạn [3; 6]

 \(f'(x) = {{2x + 1} \over {{x^2} + x - 2}}\)

Ta thấy \(f{\rm{ }}\left( x \right){\rm{ }} > {\rm{ }}0{\rm{ }},\forall x \in {\rm{[}}3;6]\) nên trên đoạn [3; 6] hàm số f(x) đồng biến.

Vậy  \(\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}3;6]} f(x) = f(3) = \ln 10;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}3;6]} f(x) = f(6) = \ln 40\)

2) Vì f(x) là hàm số tuần hoàn chu kì \(2\pi \), nên ta chỉ cần xét f(x) trên đoạn \({\rm{[}}0;2\pi {\rm{]}}\)

\(f'(x) =  - 2\sin x\cos x - \sin x;f'(0) = 0 \Leftrightarrow x = {\rm{\{ }}0;{{2\pi } \over 3};\pi ;{{4\pi } \over 3};2\pi {\rm{\} }}\)

\(f(0) = f(2\pi ) = 5;f({{2\pi } \over 3}) = 2{3 \over 4};f(\pi ) = 3;f({{4\pi } \over 3}) = 2{3 \over 4}\)

Vậy \(\mathop {\min }\limits_R f(x) = \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}0;2\pi {\rm{]}}} f(x) = 2{3 \over 4};\mathop {\max }\limits_R f(x) = \mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}0;2\pi {\rm{]}}} f(x) = 5\)

Câu 3 trang 226 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12 (3 điểm)

1) Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^1 {(3{x^2} + 2x + 1){e^{2x}}dx}\)                b) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\cos 3x} .\cos 4xdx\)

2) Tìm modun của các số phức sau:

a) \(z = ( - 4 + i\sqrt {48} )(2 + i)\)                                                     b) \(z = {{1 + i} \over {2 - i}}\)

Hướng dẫn làm bài

1)  a) Đáp số : \({7 \over 4}{e^2} - {3 \over 4}\)

b) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\cos 3x\cos 4xdx}  = {1 \over 2}\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {(\cos 7x + \cos x)dx = {3 \over 7}} \)

2)  a) \(z = ( - 4 + i\sqrt {48} )(2 + i)\) nên

 \(|z| = | - 4 + i\sqrt {48} |.|2 + i| = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {{(\sqrt {48} )}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2}}  = 8\sqrt 5 \)

b) \(z = {{1 + i} \over {2 - i}}\)  nên  \(|z| = {{|1 + i|} \over {|2 - i|}} = {{\sqrt 2 } \over {\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \sqrt {{2 \over 5}} \).

Sachbaitap.com