Bài 156 trang 99 SBT Toán 8 tập 1


Đề bài

Cho hình vuông ABCD. Vẽ điểm E trong hình vuông sao cho \(\widehat {EDC} = \widehat {ECD} = {15^0}\).

a. Vẽ điểm F trong hình vuông sao cho \(\widehat {FAD} = \widehat {FDA} = {15^0}\). Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều.

b. Chứng minh rằng tam giác ABE là tam giác đều.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

 Vận dụng tính chất của hai tam giác bằng nhau và tính chất về các cạnh và góc của hình vuông. 

Lời giải chi tiết

a. Xét \(∆ EDC\) và \(∆ FDA :\)

\(\widehat {EDC} = \widehat {FAD} = {15^0}\)

\(DC = AD\) (do ABCD là hình vuông)

\(\widehat {ECD} = \widehat {FDA} = {15^0}\)

Do đó: \(∆ EDC = ∆ FDA\) (g.c.g)

 \(⇒ DE = DF\)

\(⇒ ∆ DEF\) cân tại D

Ta lại có:

\( \widehat {ADC} = \widehat {FDA} + \widehat {FDE} + \widehat {EDC}  \)\( \Rightarrow \widehat {FDE} = \widehat {ADC} - \left( {\widehat {FDA} + \widehat {EDC}} \right) \)\( = {90^0} - \left( {{{15}^0} + {{15}^0}} \right) = {60^0} \)

Vậy \(∆ DEF\) đều.

b. Vì \(\widehat {ECD} = {15^0}\) và \(\widehat {DCB} = {90^0}\) nên \(\widehat {ECB} = 90^0-{15^0}=75^0\)

Vì \(\widehat {FDA} = {15^0}\) và \(\widehat {FDE} = {60^0}\) (do tam giác FDE đều) nên \(\widehat {EDA} = 60^0+{15^0}=75^0\)

Xét \(∆ ADE\) và \(∆ BCE:\)

\(ED = EC\) (vì \(∆ EDC\) cân tại E)

\(\widehat {ADE} = \widehat {BCE} = {75^0}\)

\(AD = BC\) (do ABCD là hình vuông)

Do đó: \(∆ ADE = ∆ BCE\) (c.g.c)

\(⇒ AE = BE\) (1)

Trong \(∆ AFD\) ta có:

\(\widehat {AFD} = {180^0} - \left( {\widehat {FAD} + \widehat {FDA}} \right) \)\(= {180^0} - \left( {{{15}^0} + {{15}^0}} \right) = {150^0}  \)

\( \widehat {AFD} + \widehat {DFE} + \widehat {AFE} = {360^0}  \)\(  \Rightarrow \widehat {AFE} = {360^0} - \left( {\widehat {AFD} + \widehat {DFE}} \right) \)\( = {360^0} - \left( {{{150}^0} + {{60}^0}} \right) \)\(= {150^0} \)

Xét \(∆ AFD\) và \(∆ AEF:\)

\(AF\) cạnh chung

\(\widehat {AFD} = \widehat {AFE} = {150^0}\)

\(DF = EF\) (vì \(∆ DFE\) đều)

Do đó: \(∆ AFD = ∆ AEF\) (c.g.c)

\(⇒ AE = AD\)

\(AD = AB\) (do ABCD là hình vuông)

Suy ra: \(AE = AB\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(AE = AB = BE.\)

Vậy \(∆ AEB\) đều.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 11 phiếu
  • Bài 12.1 phần bài tập bổ sung trang 99 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 12.1 phần bài tập bổ sung trang 99 sách bài tập toán 8. Hình vuông có chu vi bằng 8 thì đường chéo bằng : A. 2...

  • Bài 12.2 phần bài tập bổ sung trang 99 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 12.2 phần bài tập bổ sung trang 99 sách bài tập toán 8. Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác của bốn góc vuông có đỉnh O cắt các cạnh AB, BC, CD, DA ...

  • Bài 12.3 phần bài tập bổ sung trang 99 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 12.3 phần bài tập bổ sung trang 99 sách bài tập toán 8. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh DC lấy điểm E, trên cạnh BC lấy điểm F sao cho DE = CF. Chứng minh rằng AE = DF và AE ⊥ DF...

  • Bài 155 trang 99 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 155 trang 99 sách bài tập toán 8. Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC. a. Chứng minh rằng CE vuông góc với DF; b. Gọi M là giao điểm của CE và DF...

  • Bài 154 trang 99 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 154 trang 99 sách bài tập toán 8. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt AD ở K. Chứng minh rằng AK + CE = BE...

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 8 - Xem ngay

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.