Bài 150 trang 98 SBT Toán 8 tập 1


Đề bài

Cho một hình chữ nhật có hai cạnh kề không bằng nhau. Chứng minh rằng các tia phân giác của các góc hình chữ nhật đó cắt nhau tạo thành một hình vuông.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Vận dụng kiến thức : Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

Lời giải chi tiết

Gọi giao điểm các đường phân giác của các góc: \(\widehat A,\widehat B,\widehat C,\widehat D\) theo thứ tự cắt nhau tại \(E,\, H,\, F,\, G.\)

Trong \(∆ ADG\) ta có: \(\widehat {GAD} = {45^0};\widehat {GDA} = {45^0}\) (tính chất tia phân giác của các góc vuông)

\(⇒ ∆ GAD\) vuông cân tại \(G\) (tam giác có 2 góc bằng \(45^0\) là tam giác vuông cân) 

\( \Rightarrow \widehat {AGD} = {90^0}\) và \(GD = GA\)

\( \Rightarrow \widehat {FGE} = \widehat {AGD} = {90^0}\) (hai góc đối đỉnh)

Trong \(∆ BHC\) ta có:

\(\widehat {HBC} = {45^0};\widehat {HCB} = {45^0}\) (tính chất tia phân giác của các góc vuông)

\(⇒ ∆HBC\) vuông cân tại \(H\) (tam giác có 2 góc bằng \(45^0\) là tam giác vuông cân)

\( \Rightarrow \widehat {BHC} = {90^0}\) và \(HB = HC\)

Trong \(∆ FDC\) ta có: \({\widehat D_1} = {45^0};{\widehat C_1} = {45^0}\) (tính chất tia phân giác của các góc vuông)

\(⇒ ∆ FDC\) vuông cân tại \(F\) (tam giác có 2 góc bằng \(45^0\) là tam giác vuông cân)

\( \Rightarrow \widehat F = {90^0}\) và \(FD = FC\)

Suy ra tứ giác \(EHFG\) là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)

Xét \(∆ GAD\) và \(∆ HBC :\)

\(\widehat {GAD} = \widehat {HBC} = {45^0}\)

\(AD = BC\) (tính chất hình chữ nhật)

\(\widehat {GDA} = \widehat {HCB} = {45^0}\)

Do đó: \(∆ GAD = ∆ HBC\, (g.c.g)\) \(⇒ GD = HC\)

\(FD = FC\) (chứng minh trên)

Suy ra: \(FD-GD=FC-HC\) hay \(FG = FH\)

Vậy hình chữ nhật \(EHFG\) có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình vuông.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 12. Hình vuông

  • Bài 151 trang 98 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 151 trang 98 sách bài tập toán 8. Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa C và D. Tia phân giác của góc DAE cắt CD ở F. Kẻ FH vuông góc với AE (H thuộc AE), FH cắt BC ở G...

  • Bài 152 trang 99 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 152 trang 99 sách bài tập toán 8. Cho hình vuông DEBC. Trên cạnh CD lấy điểm A, trên tia đối của tia DC lấy điểm K, trên tia đối tia ED lấy điểm M sao cho CA = DK = EM. Vẽ hình vuông DKIH...

  • Bài 153 trang 99 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 153 trang 99 sách bài tập toán 8. Cho tam giác ABC. Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH. a. Chứng minh rằng EC = BH, EC vuông góc với BH...

  • Bài 154 trang 99 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 154 trang 99 sách bài tập toán 8. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt AD ở K. Chứng minh rằng AK + CE = BE...

  • Bài 155 trang 99 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 155 trang 99 sách bài tập toán 8. Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC. a. Chứng minh rằng CE vuông góc với DF; b. Gọi M là giao điểm của CE và DF...

  • Bài 156 trang 99 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 156 trang 99 sách bài tập toán 8. Cho hình vuông ABCD. Vẽ điểm E trong hình vuông sao cho góc EDC bằng góc ECD và bằng 15 độ. a. Vẽ điểm F trong hình vuông sao cho góc FAD bằng góc FDA và bằng...

  • Bài 12.1 phần bài tập bổ sung trang 99 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 12.1 phần bài tập bổ sung trang 99 sách bài tập toán 8. Hình vuông có chu vi bằng 8 thì đường chéo bằng : A. 2...

  • Bài 12.2 phần bài tập bổ sung trang 99 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 12.2 phần bài tập bổ sung trang 99 sách bài tập toán 8. Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác của bốn góc vuông có đỉnh O cắt các cạnh AB, BC, CD, DA ...

  • Bài 12.3 phần bài tập bổ sung trang 99 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 12.3 phần bài tập bổ sung trang 99 sách bài tập toán 8. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh DC lấy điểm E, trên cạnh BC lấy điểm F sao cho DE = CF. Chứng minh rằng AE = DF và AE ⊥ DF...

  • Bài 149 trang 98 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 149 trang 98 sách bài tập toán 8. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm F, trên cạnh DC lấy điểm E sao cho AF = DE. Chứng minh rằng AE = BF và AE ⊥ BF...

  • Bài 148 trang 98 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 148 trang 98 sách bài tập toán 8. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC, chúng cắt AB và AC ...

  • Bài 147 trang 98 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 147 trang 98 sách bài tập toán 8. Hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi H là giao điểm của AQ và DP, gọi K là giao điểm của CP và BQ...

  • Bài 146 trang 98 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 146 trang 98 sách bài tập toán 8. Cho tam giác ABC, điểm I nằm giữa B và C. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở H. Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở K...

  • Bài 145 trang 98 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 145 trang 98 sách bài tập toán 8. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, K, P, Q sao cho AE = BK = CP = DQ. Tứ giác EKPQ là hình gì ? Vì sao ?...

  • Bài 144 trang 98 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 144 trang 98 sách bài tập toán 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Gọi M, N theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến AB, AC. Chứng minh rằng tứ giác AMDN là hình vuông...

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.