
Đề bài
Trên đường tròn (O; R) lần lượt lấy ba điểm A, B, C theo thứ tự sao cho \(AB = R\sqrt 2 \) và sđ cung BC=300.
a) Tính số đo của cung AB không chứa điểm C và tính độ dài dây AC theo R.
b) Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng BC tại D. Tính độ dài các cung AD, DB, AB của đường tròn (ABD) theo R.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh tam giác OAB vuông tại O suy ra số đo cung AB.
Gọi H là trung điểm của AC, chứng minh H là trung điểm của AC, tính AH, từ đó suy ra AC.
b) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, tính số đo các góc \(\widehat {AO'D};\,\,\widehat {BO'D};\,\,\widehat {AO'B}\) với O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Sử dụng công thức tính độ dài cung n0 của đường tròn có bán kính R là \(l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\).
Lời giải chi tiết
a) Xét tam giác OAB có : \(O{A^2} + O{B^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2} = A{B^2}\)
\( \Rightarrow \Delta OAB\) vuông tại O (định lí Pytago đảo)
\( \Rightarrow \widehat {AOB} = {90^0} = sdcung\,AB\) (số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn).
Mà \(sdcung\,BC = {30^0} \Rightarrow \widehat {BOC} = {30^0}\)(số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn).
\( \Rightarrow \widehat {AOC} = \widehat {AOB} + \widehat {BOC} = {90^0} + {30^0} = {120^0}\).
Gọi H là trung điểm của AC ta có \(OH \bot AC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
Xét tam giác OAC có \(OA = OC = R \Rightarrow \Delta OAC\) cân tại O \( \Rightarrow OH\) là đường cao đồng thời là phân giác \( \Rightarrow \widehat {AOH} = \dfrac{1}{2}\widehat {AOC} = \dfrac{1}{2}{.120^0} = {60^0}\).
Xét tam giác vuông OAH có : \(AH = OA.\sin {60^0} = R.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\( \Rightarrow AC = 2AH = 2.R.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = R\sqrt 3 \).
b) Tam giác ABD vuông tại D nên nội tiếp đường tròn đường kính AB, bán kính \(r = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}\)
Xét tam giác OBC có \(OB = OC = R \Rightarrow \Delta OBC\) cân tại O
\( \Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {OCB} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {BOC}}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{30}^0}}}{2} = {75^0}\)
Ta có : \(\widehat {OBD} + \widehat {OBC} = {180^0}\) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {OBD} = {180^0} - \widehat {OBC} = {180^0} - {75^0} = {105^0}\)
Tứ giác OADB có \(\widehat {AOB} + \widehat {ADB} = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác OADB là tứ giác nội tiếp
\( \Rightarrow \widehat {OAD} + \widehat {OBD} = {180^0}\) (tổng 2 góc đối của tứ giác nội tiếp)
\( \Rightarrow \widehat {OAD} = {180^0} - \widehat {OBD} = {180^0} - {105^0} = {75^0}\).
Mà \(\widehat {OAB} + \widehat {BAD} = \widehat {AOD} \)
\(\Rightarrow {45^0} + \widehat {BAD} = {75^0} \Rightarrow \widehat {BAD} = {30^0}\)
(do \(\Delta OAB\) vuông cân tại O nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA} = {45^0}\))
Gọi O’ là trung điểm của AB.
Tam giác O’AD có \(O'A = O'D \Rightarrow \Delta O'AD\) cân tại O’
\( \Rightarrow \widehat {AO'D} = {180^0} - \widehat {O'AD} - \widehat {O'DA} \)\(\,= {180^0} - 2\widehat {O'AD} = {180^0} - {2.30^0} = {120^0}\)
\( \Rightarrow {l_{AD}} = \dfrac{{\pi rn}}{{180}} = \dfrac{{\pi .\dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}.120}}{{180}} = \dfrac{{\pi R\sqrt 2 }}{3}\)
Ta có \(\widehat {BO'D} + \widehat {AO'D} = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \widehat {BO'D} = {180^0} - \widehat {AO'D} = {180^0} - {120^0} = {60^0}\)
\( \Rightarrow {l_{DB}} = \dfrac{{\pi rn}}{{180}} = \dfrac{{\pi .\dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}.60}}{{180}} = \dfrac{{\pi R\sqrt 2 }}{6}\)
\({l_{AB}} = \dfrac{{\pi rn}}{{180}} = \dfrac{{\pi \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}180}}{{180}} = \dfrac{{\pi R\sqrt 2 }}{2}\)
Loigiaihay.com
Giải bài tập Cho OM là một bán kính của đường tròn (O). Vẽ đường tròn (O’) có đường kính OM. Một bán
Giải bài tập Cho hai đường tròn đồng tâm có khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm thuộc hai đường tròn
Giải bài tập Cho cung AB trên (O ; R) và cung A’B’ trên (O’ ; R’) có độ dài bằng nhau. Chứng minh
Giải bài tập Hãy điền vào các ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến
Giải bài tập Hãy điền vào các ô trống trong bảng sau (làm tròn kết
Giải bài tập a) Tính độ dài cung 120o của đường tròn có bán kính 5 dm.
Giải bài tập Máy kéo nông nghiêp có đường kính bánh sau là 124 cm và đường kính bánh trước là 80 cm.
Giải bài tập Thành phố Đà Lạt nằm vào khoảng 11o58’ vĩ độ Bắc. Mỗi vòng kinh tuyến của Trái Đất dài 40 000 km. Hãy tính độ dài cung kinh tuyến từ Đà Lạt đến xích đạo.
Giải bài tập Tính diện tích đường tròn ngoại tiếp và hình tròn nội tiếp một hình vuông có cạnh 10 cm.
Giải bài tập Chân một đống cát đổ trên một nền mặt phẳng nằm ngang là một hình tròn có chu vi 10 m. Hỏi
Giải bài tập Cho hai hình tròn (C1) và (C2) đồng tâm và có bán kính lần lượt là R1, R2 (R1> R2). Hình vành
Giải bài tập Cho nửa đường tròn (O ; 10 cm) đường kính AB. Vẽ hai nửa đường tròn đường kính CA, CB ở
Giải bài tập Từ điểm A trên nửa đường tròn (O) đường kính BC, vẽ ra ngài tam giác ABC hai nửa đường tròn
Giải bài tập Cho cung AB trên đường tròn (O; R)
Giải bài tập Hãy tính diện tích các hình quạt có độ dài cung lần lượt là 8 cm, 12 cm, 15 cm, 25 cm của hình
Giải bài tập Hãy tính diện tích các hình quạt có góc ở tâm lần lượt là
Giải bài tập Cho cung AB trên đường tròn (O ; R) có số đo
Giải bài tập Hãy tính độ dài các cung
Giải bài tập Hãy điền vào các ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến hai chữ số thập phân) biết
>> Xem thêm
Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?
Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!
Họ và tên:
Email / SĐT: