Bài 63* trang 166 SBT toán 9 tập 1


Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) tiếp xúc với \(BC\) tại \(D.\) Chứng minh rằng: \({S_{ABC}} = BD.DC\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức: 

+)  Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Sử dụng định lí Py-ta-go: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải chi tiết

Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là tiếp điểm của đường tròn với \(AB\) và \(AC.\)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

\(AE = AF\) 

\( BE = BD\)

\( CD = CF\)

Ta lại có: \(BD = BC - CD\)

\( BE = AB – AE\)

Suy ra: \(BD + BE = AB + BC – (AE + CD )\)

\( = AB + BC – (AF + CF)\)

\(= AB + BC – AC\)

Suy ra: \(BD =\displaystyle {{AB + BC - AC} \over 2}\)

Lại có: \(CD = BC – BD\)

\( CF = AC = AF\)

Suy ra: \(CD + CF \)\(= BC + AC – ( BD + AF)\)

\(= BC + AC – (BE + AE)\)

\(= BC + AC – BA\)

Suy ra: \(CD = \displaystyle {{BC + AC - AB} \over 2}\)

Ta có:  \(BD.CD\)\( =\displaystyle  {{AB + BC - AC} \over 2}.{{BC + AC - AB} \over 2}\)

\(\displaystyle = {{\left[ {BC - (AC - AB)} \right]\left[ {BC + (AC - AB)} \right]} \over 4}\)

\(\displaystyle ={{B{C^2} - {{(AC - AB)}^2}} \over 4}\)

\( = \displaystyle {{B{C^2} - A{C^2} - A{B^2} + 2AB.AC} \over 4}\)  \((1)\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(ABC,\) ta có:

\( BC^2 = AB^2 + AC^2  \;\;         (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(BD.CD = \displaystyle {{2AB.AC} \over 4} \)\(=  \displaystyle {{AB.AC} \over 2}\)

Mà \({S_{ABC}} = \displaystyle {1 \over 2}AB.AC\)

Vậy \({S_{ABC}} = BD.DC.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 9 phiếu
  • Bài 6.1 phần bài tập bổ sung trang 166 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 6.1 phần bài tập bổ sung trang 166 sách bài tập toán 9. Độ dài mỗi cạnh của tam giác đều ngoại tiếp đường tròn (O ; r) bằng...

  • Bài 6.2 phần bài tập bổ sung trang 167 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 6.2 phần bài tập bổ sung trang 167 sách bài tập toán 9. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Đường thẳng đi qua O và song song với AB cắt AC tại D. Đường tròn đi qua O và song song với AC cắt AB ở E. Tứ giác ADOE là hình gì ?

  • Bài 6.3 phần bài tập bổ sung trang 167 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 6.3 phần bài tập bổ sung trang 167 sách bài tập toán 9. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Kẻ dây CD song song với AB. Chứng minh rằng BC = BD.

  • Bài 62* trang 166 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 62* trang 166 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB)...

  • Bài 61* trang 166 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 61* trang 166 sách bài tập toán 9. Cho nửa hình tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.