Bài 61* trang 166 SBT toán 9 tập 1


Đề bài

Cho nửa hình tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB.\) Vẽ các tiếp tuyến \(Ax, By\) \((Ax, By\) và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ \(AB).\) Gọi \(M\) là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại \(M\) cắt \(Ax,\) \(By\) theo thứ tự ở \(C, D.\)

\(a)\) Chứng minh rằng đường tròn có đường kính \(CD\) tiếp xúc với \(AB.\)

\(b)\) Tìm vị trí của điểm \(M\) để hình thang \(ABDC\) có chu vi nhỏ nhất.

\(c)\) Tìm vị trí của \(C, D\) để hình thang \(ABDC\) có chu vi bằng \(14cm,\) biết \(AB = 4cm.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

\(*\)) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

\(*\)) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

+)  Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

\(*\)) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

\(Ax ⊥ AB\)

\(By ⊥ AB\)

Suy ra: \(Ax // By\) hay \(AC // BD\)

Suy ra tứ giác \(ABDC\) là hình thang

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\)

Khi đó \(OI\) là đường trung bình của hình thang \(ABDC\)

Suy ra: \(OI // AC ⇒ OI ⊥ AB\) tại O

Vì \(OC\) và \(OD\) lần lượt là phân giác của \(\widehat {AOM}\) và \(\widehat {BOM}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) mà \(\widehat {AOM}\) và \(\widehat {BOM}\) là hai góc kề bù nên \(OC ⊥ OD\) ( tính chất hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {COD} = 90^\circ \)

Xét tam giác COD vuông tại O có OI là trung tuyến

Suy ra: \(\displaystyle IC = ID = IO = {1 \over 2}CD\) ( tính chất tam giác vuông)

Suy ra \(I\) là tâm đường tròn đường kính \(CD.\) Khi đó \(O\) nằm trên đường tròn tâm \(I\) đường kính \(CD\) và \(IO\) vuông góc với \(AB\) tại \(O.\)

Vậy đường tròn có đường kính \(CD\) tiếp xúc với \(AB\) tại \(O.\)

\(b)\) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

\(CA = CM\)

\(BD = DM\)

Suy ra: \(AC + BD = CM + DM = CD\)

Chu vi hình thang \(ABDC\) bằng:

\(AB + BD + DC + CA = AB + 2CD\)

Vì đường kính \(AB\) của \((O)\) không thay đổi nên chu vi hình thang nhỏ nhất khi \(CD\) nhỏ nhất.

Ta có: \(CD ≥ AB\) nên \(CD\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(CD = AB\)

Khi đó \(CD // AB ⇔ OM ⊥ AB\) 

Vậy khi \(M\) là giao điểm của đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(O\) với nửa đường tròn \((O)\) thì hình thang \(ABDC\) có chu vi nhỏ nhất.

\(c)\) Chu vi hình thang \(ABDC\) bằng: \(AB + 2CD\) (chứng minh trên)

Suy ra: \(14 = 4 + 2.CD ⇒ CD = 5 (cm)\)

Hay \(CM + DM = 5 \)\(⇒ DM = 5 – CM    \;  (1)\)

Tam giác \(COD\) vuông tại \(O\) có \(OM ⊥ CD\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(OM^2= CM.DM \)\(⇔ 2^2 = CM.DM \)\(⇔ 4 = CM.DM  \;\;  (2)\)

Thay \((1)\) và \((2)\) ta có: \(CM.(5 – CM) = 4\)

\(⇔ 5CM – CM^2 – 4 = 0\) 

\(⇔ 4CM – CM^2 + CM – 4 = 0\)

\(⇔ CM(4 – CM) + (CM – 4) = 0\)

\(⇔ CM(4 – CM) – (4 – CM) = 0\)

\(⇔ (CM – 1)(4 – CM) = 0\)

\(⇔ CM – 1 = 0\) hoặc \(4 – CM = 0\)

\(⇔CM = 1\) hoặc \(CM = 4\)

Vì \(CM = CA\) (chứng minh trên) nên \(AC = 1 (cm)\) hoặc \(AC = 4 (cm)\)

Vậy điểm \(C\) cách điểm \(A\) là \(1cm\) hoặc \(4cm\) thì hình thang \(ABDC\) có chu vi bằng \(14.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 7 phiếu
  • Bài 62* trang 166 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 62* trang 166 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB)...

  • Bài 63* trang 166 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 63* trang 166 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng:...

  • Bài 6.1 phần bài tập bổ sung trang 166 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 6.1 phần bài tập bổ sung trang 166 sách bài tập toán 9. Độ dài mỗi cạnh của tam giác đều ngoại tiếp đường tròn (O ; r) bằng...

  • Bài 6.2 phần bài tập bổ sung trang 167 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 6.2 phần bài tập bổ sung trang 167 sách bài tập toán 9. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Đường thẳng đi qua O và song song với AB cắt AC tại D. Đường tròn đi qua O và song song với AC cắt AB ở E. Tứ giác ADOE là hình gì ?

  • Bài 6.3 phần bài tập bổ sung trang 167 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 6.3 phần bài tập bổ sung trang 167 sách bài tập toán 9. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Kẻ dây CD song song với AB. Chứng minh rằng BC = BD.

  • Bài 60 trang 166 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 60 trang 166 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC, đường tròn (K) bằng tiếp góc trong góc A tiếp xúc với các tia AB và AC theo thứ tự tại E và F. Cho BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng:...

  • Bài 59 trang 165 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 59 trang 165 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng:...

  • Bài 58 trang 165 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 58 trang 165 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại D, E...

  • Bài 57 trang 165 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 57 trang 165 sách bài tập toán 9. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có chu vi 2p,bán kính đường tròn nội tiếp bằng r thì diện tích S của tam giác có công thức: S=p.r

  • Bài 56 trang 165 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 56 trang 165 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A ; AH). Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rằng:...

  • Bài 55 trang 165 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 55 trang 165 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O; 2cm), các tiếp tuyến AB và AC kẻ từ A đến đường tròn vuông góc với nhau tại A (B và C là các tiếp điểm)...

  • Bài 54 trang 165 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 54 trang 165 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O; 3cm) và điểm A có AO = 5cm. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC...

  • Bài 53 trang 165 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 53 trang 165 sách bài tập toán 9. Tính diện tích tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn (I; r).

  • Bài 52 trang 165 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 52 trang 165 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC. Các tiếp điểm trên AC, AB theo thứ tự là D, E. Cho BC = a, AC = b, AB = c. Tính độ dài các đoạn tiếp tuyến AD, AE theo a, b, c.

  • Bài 51 trang 164 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 51 trang 164 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax,By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm bất kì thuộc tia Ax. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By ở N.

  • Bài 50 trang 164 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 50 trang 164 sách bài tập toán 9. Cho góc xOy khác góc bẹt, điểm A nằm trên tia Ox. Dựng đường tròn (I) đi qua A và tiếp xúc với hai cạnh của góc xOy.

  • Bài 49 trang 164 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 49 trang 164 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến MD, ME với đường tròn (D, E là các tiếp điểm). Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt MD và ME theo thứ tự ở P và Q. Biết MD = 4cm, tính chu vi tam giác MPQ.

  • Bài 48 trang 164 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 48 trang 164 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M,N là các tiếp điểm)...

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài