Bài 48 trang 164 SBT toán 9 tập 1


Đề bài

Cho đường  tròn \((O),\) điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến \(AM, AN\) với đường tròn \((M,N\) là các tiếp điểm\().\)

\(a)\) Chứng minh rằng \(OA ⊥ MN.\)

\(b)\) Vẽ đường kính \(NOC.\) Chứng minh rằng \(MC // AO.\)

\(c)\) Tính độ dài các cạnh của tam giác \(AMN\) biết \(OM = 3cm,\) \(OA = 5cm.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

\(*\)) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

+) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

\(*\)) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Xét đường tròn (O) có \(AM\) và \(AN\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A nên \(AM = AN\) ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tam giác \(AMN\) cân tại \(A\)

Mặt khác \(AO\) là đường phân giác của góc \(MAN\) ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra \(AO\) là đường cao của tam giác \(AMN\) (tính chất tam giác cân)

Vậy \(OA ⊥ MN.\)

\(b)\) Tam giác \(MNC\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có \(NC\) là đường kính nên \(\widehat {CMN} = 90^\circ \)

suy ra: \(MN ⊥ MC\)

Mà      \(OA ⊥ MN\) (chứng minh trên)

Suy ra:  \(OA // MC\)

\(c)\) Ta có: \(AN ⊥ NC\) (tính chất tiếp tuyến)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \(AON\) ta có:

\(A{O^2} = A{N^2} + O{N^2}\)

Suy ra:  \(A{N^2} = A{O^2} - O{N^2} = {5^2} - {3^2} = 16\)

            \( AN = 4 (cm)\)

Suy ra: \(AM = AN = 4 (cm)\)

Gọi \(H\) là giao điểm của \(AO\) và \(MN\). Xét tam giác AMN cân tại A có AH là đường phân giác nên AH cũng là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân). 

Suy ra \(MH = NH =  \displaystyle {{MN} \over 2}\) 

Tam giác \(AON\) vuông tại \(N\) có \(NH ⊥ AO.\) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

 \(OA.NH = AN.ON\)\(  \Rightarrow NH = \displaystyle {{AN.ON} \over {AO}}\)\( =  \displaystyle {{4.3} \over 5} = 2,4 (cm) \)

Từ đó: \(MN = 2.NH = 2.2,4 = 4,8 (cm).\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.7 trên 13 phiếu
  • Bài 49 trang 164 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 49 trang 164 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến MD, ME với đường tròn (D, E là các tiếp điểm). Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt MD và ME theo thứ tự ở P và Q. Biết MD = 4cm, tính chu vi tam giác MPQ.

  • Bài 50 trang 164 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 50 trang 164 sách bài tập toán 9. Cho góc xOy khác góc bẹt, điểm A nằm trên tia Ox. Dựng đường tròn (I) đi qua A và tiếp xúc với hai cạnh của góc xOy.

  • Bài 51 trang 164 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 51 trang 164 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax,By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm bất kì thuộc tia Ax. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By ở N.

  • Bài 52 trang 165 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 52 trang 165 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC. Các tiếp điểm trên AC, AB theo thứ tự là D, E. Cho BC = a, AC = b, AB = c. Tính độ dài các đoạn tiếp tuyến AD, AE theo a, b, c.

  • Bài 53 trang 165 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 53 trang 165 sách bài tập toán 9. Tính diện tích tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn (I; r).

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.