Bài 53 trang 165 SBT toán 9 tập 1


Đề bài

Tính diện tích tam giác đều \(ABC\) ngoại tiếp đường tròn \((I; r).\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Giao ba đường phân giác trong của tam giác là điểm cách đều các cạnh tam giác (tâm đường tròn nội tiếp tam giác).

+) Trong tam giác đều, giao ba đường phân giác cũng là giao ba đường trung tuyến, trung trực, đường cao.

+) Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối.

Lời giải chi tiết

Gọi \(H\) là tiếp điểm của đường tròn \((I)\) với \(BC.\)

Ta có: \(IH ⊥ BC\) (tính chất tiếp tuyến)

Vì \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) nên \(AI\) là tia phân giác của góc \(BAC.\)

Tam giác \(ABC\) đều nên \(AI\) cũng là đường cao của tam giác \(ABC.\) Khi đó \(A, I, H\) thẳng hàng.

Khi đó đường cao AH cũng là đường trung tuyến của tam giác đều ABC nên ta có: \(HB = HC=\dfrac{BC}2\) ( tính chất tam giác đều)

Tam giác \(ABC\) đều nên \(I\) cũng là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)

Suy ra: \(AH = 3.HI = 3.r\)

\(\widehat {HAB} =\displaystyle {1 \over 2}\widehat {BAC}\)\( = \displaystyle{1 \over 2}.60^\circ  = 30^\circ \) (vì \(AH\) là tia phân giác của góc \(BAC\))

Tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\) nên ta có:

\(BH = AH.tan\widehat {HAB} = 3{\rm{r}}.tan{30^0} \)\(=\displaystyle 3{\rm{r}}.{{\sqrt 3 } \over 3} = r\sqrt 3 \)

Mà: \(BC = 2.BH = 2r\sqrt 3 \)

Vậy \({S_{ABC}} =\displaystyle {1 \over 2}AH.BC \)\(= \displaystyle{1 \over 2}.3r.2r\sqrt 3  = 3{r^2}\sqrt 3 \) \((đvdt)\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 9 phiếu
  • Bài 54 trang 165 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 54 trang 165 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O; 3cm) và điểm A có AO = 5cm. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC...

  • Bài 55 trang 165 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 55 trang 165 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O; 2cm), các tiếp tuyến AB và AC kẻ từ A đến đường tròn vuông góc với nhau tại A (B và C là các tiếp điểm)...

  • Bài 56 trang 165 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 56 trang 165 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A ; AH). Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rằng:...

  • Bài 57 trang 165 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 57 trang 165 sách bài tập toán 9. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có chu vi 2p,bán kính đường tròn nội tiếp bằng r thì diện tích S của tam giác có công thức: S=p.r

  • Bài 58 trang 165 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 58 trang 165 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại D, E...

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.