Bài 59 trang 165 SBT toán 9 tập 1


Giải bài 59 trang 165 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng:...

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn ngoại tiếp, \(r\) là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC.\) Chứng minh rằng: \(AB + AC = 2(R + r).\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

+) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

Lời giải chi tiết

Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là trung điểm của cạnh huyền \(BC.\)

Ta có:    \( BC = 2R\)

Giả sử đường tròn tâm \((O)\) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với AB tại \(D, AC\) tại \(E\) và \(BC\) tại \(F.\)

Ta có: \(OD  \bot AB \Rightarrow \widehat {ODA} = 90^\circ \)

\(OE \bot AC \Rightarrow \widehat {OEA} = 90^\circ \)

\(\widehat {BAC} = 90^\circ \) (gt)

Tứ giác \(ADOE\) có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật

Lại có: \(AD = AE\) (tính chất hai tiếp tuyến giao nhau)

Vậy tứ giác \(ADOE\) là hình vuông.

Suy ra: \(AD = AE = EO = OD = r\)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

+) \( AD = AE\)

+) \(  BD = BF\)

+) \(  CE = CF\)

Ta có: \(  2R + 2r =BC+AD+AE\)\(= BF + FC + AD + AE\)

\(             = (BD + AD) + (AE +CE)\)

\(             = AB + AC\)

Vậy \(AB + AC = 2 (R + r).\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4 trên 5 phiếu

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài