Bài 142 trang 97 SBT Toán 8 tập 1


Giải bài 142 trang 97 sách bài tập toán 8. Cho hình bình hành ABCD, các đường chéo cắt nhau ở O. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của các tam giác AOB, BOC, COD, DOA...

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD,\) các đường chéo cắt nhau ở \(O.\) Gọi \(E,\, F,\, G,\, H\) theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của các tam giác \(AOB,\, BOC,\, COD,\, DOA.\) Chứng minh rằng \(EFGH\) là hình thoi.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình thoi.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\widehat {AOB} = \widehat {COD}\) (đối đỉnh)

\(\widehat {EOB} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {AOB}\) (gt)

\(\widehat {COG} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {COD}\) (gt)

Suy ra: \(\widehat {EOB} = \widehat {COG}\)

\(\widehat {EOB} + \widehat {BOC} + \widehat {COG} \)\(= 2\widehat {EOB} + \widehat {BOC}\)

mà \(\widehat {AOB} + \widehat {BOC} = {180^0}\) (kề bù)

hay \(2\widehat {EOB} + \widehat {BOC} = {180^0}\)

Suy ra: \(E,\, O,\, G\) thẳng hàng

Ta lại có: \(\widehat {BOC} = \widehat {AOD}\) (đối đỉnh)

\(\widehat {HOD} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {AOD}\) (gt)

\(\widehat {FOC} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {BOC}\) (gt)

Suy ra: \(\widehat {HOD} = \widehat {FOC}\)

\(\widehat {HOD} + \widehat {COD} + \widehat {FOC}\)\( = 2\widehat {HOD} + \widehat {COD}\)

mà \(\widehat {AOD} + \widehat {COD} = {180^0}\) (kề bù)

hay \(2\widehat {HOD} + \widehat {COD} = {180^0}\)             

Suy ra: \(H,\, O,\, F\) thẳng hàng

\(\widehat {ADO} = \widehat {CBO}\) (so le trong)

\(\widehat {HDO} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {ADO}\) (gt)

\(\widehat {FBO} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {CBO}\) (gt)

Suy ra: \(\widehat {HDO} = \widehat {FBO}\)

- Xét \(∆ BFO\) và \(∆ DHO:\)

\(\widehat {HDO} = \widehat {FBO}\) (chứng minh trên)

\(OD = OB\) (tính chất hình bình hành)

\(\widehat {HOD} = \widehat {FOB}\) (đối đỉnh)

Do đó: \(∆ BFO = ∆ DHO \,(g.c.g)\)

\(⇒ OF = OH\)

\(\widehat {OAB} = \widehat {OCD}\) (so le trong)

\(\widehat {OAE} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {OAB}\) (gt)

\(\widehat {OCG} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {OCD}\) (gt)

Suy ra: \(\widehat {OAE} = \widehat {OCG}\)       

- Xét \(∆ OAE\) và \(∆ OCG:\)

\(\widehat {OAE} = \widehat {OCG}\) (chứng minh trên)

\(OA = OC\) (tính chất hình bình hành)

\(\widehat {EOA} = \widehat {GOC}\) (đối đỉnh)

Do đó: \(∆ OAE = ∆ OCG \,(g.c.g)\)

\(⇒ OE = OG\)

Suy ra: Tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Ta có OE là tia phân giác góc AOB và OF là tia phân giác góc BOC

Mà hai góc AOB và BOC kề bù

Nên \(OE ⊥ OF\) (tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau)

hay \(EG ⊥ FH\)

Vậy: Tứ giác \(EFGH\) là hình thoi.

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 11. Hình thoi

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10 năm học 2021-2022, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài