Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 4: Thể tích của khối đa diện

Bài 48 trang 11 SBT Hình học 12 Nâng cao


Giải bài 48 trang 11 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Bốn đường thẳng...

Đề bài

Bốn đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3},{\Delta _4}\) đôi một song song và không có ba đường thẳng nào trên cùng một mặt phẳng. Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt chúng theo thứ tự tại A, B, C, D. Một mặt phẳng \(\left( {P'} \right)\) cắt chúng theo thứ tự A’, B’, C’, D’. Chứng minh hai khối tứ diện D’ABC và DA’B’C’ có thể tích bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD,O' = A'C' \cap B'D'.\)

Do \(DD'//OO'\) nên dễ thấy

\({{d\left( {D',\left( {ABC} \right)} \right)} \over {d\left( {O',\left( {ABC} \right)} \right)}} = {{DD'} \over {OO'}},{{d\left( {D,\left( {A'B'C'} \right)} \right)} \over {d\left( {O,\left( {A'B'C'} \right)} \right)}} = {{DD'} \over {OO'}}.\)

Vậy :

\(\left. \matrix{  {V_{D'.ABC}} = {{DD'} \over {OO'}}{V_{O'.ABC}} \hfill \cr  {V_{D.A'B'C'}} = {{DD'} \over {OO'}}{V_{O.A'B'C'}} \hfill \cr}  \right\}\;\;\;\;\;(1)\)

Đặt \(h = d\left( {BB',\left( {ACC'A'} \right)} \right).\)

Ta có \(h = d\left( {B,\left( {ACC'A'} \right)} \right)\) và

\(\eqalign{  & {V_{O'.ABC}} = {V_{B.O'AC}} = {1 \over 3}h.{S_{O'AC}}\;\;\;\;\;(2)  \cr  & {V_{O.A'B'C'}} = {V_{B'.OA'C'}} = {1 \over 3}h.{S_{OA'C'}}\;\;\;(3) \cr} \)

Đặt \(d = d\left( {AA',CC'} \right)\) thì \(\eqalign{  & {S_{O'AC}} = {S_{OA'C'}} = {1 \over 2}OO'.d\;\;\;\;(4)  \cr  &  {S_{O'AC}} = {S_{AOO'}} + {S_{COO'}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {1 \over 2}OO'\left( {d\left( {A,OO'} \right) + d\left( {C.OO'} \right)} \right) \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {1 \over 2}OO'.d  \cr} \)

Tương tự \({S_{OA'C'}} = {1 \over 2}OO'.d\).

Từ (2), (3), (4) suy ra \({V_{O'.ABC}} = {V_{O.A'B'C'}}\;\;\;\;(5)\)

Từ (1) và (5) ta suy ra \({V_{D'.ABC}} = {V_{D.A'B'C'}}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store