Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 4: Thể tích của khối đa diện

Bài 34 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao


Giải bài 34 trang 10 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Khối chóp S.ABC ...

Đề bài

Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và \(SA \bot \left( {ABC} \right),SC = a.\) Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) để thể tích khối chóp là lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Ta có \(BC \bot AC\) nên \(BC \bot SC\) (định lý ba đường vuông góc), suy ra góc \(SCA\) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).

Đặt \(\widehat {SCA} = x\left( {0 < x < {\pi  \over 2}} \right)\)

Khi đó :

\(\eqalign{  & SA = a{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},AC = acosx.  \cr  & {V_{S.ABC}} = {{a{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \over 3}.{{{a^2}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \over 2} = {{{a^3}} \over 6}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}x}.co{s^2}x. \cr} \)

Xét hàm số \(y\left( x \right) = \sin {\rm{x}}{\cos ^2}x.\)

Ta có :

\(\eqalign{  y'\left( x \right) &= co{s^3}x - 2{\mathop{\rm cosx}\nolimits} .s{\rm{i}}{{\rm{n}}^2}{\rm{x }}\cr&= \cos x\left( {co{s^2}x - 2 + 2co{s^2}x} \right)  \cr  &  = cosx\left( {3{{\cos }^2}x - 2} \right) \cr&= 3{\mathop{\rm cosx}\nolimits} \left( {{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  - \sqrt {{2 \over 3}} } \right)\left( {\cos x + \sqrt {{2 \over 3}} } \right). \cr} \)

Vì \(0 < x < {\pi  \over 2}\) nên \(\cos x\left( {{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  + \sqrt {{2 \over 3}} } \right) > 0.\)

Gọi \(\alpha \) là góc sao cho \(\cos \alpha  = \sqrt {{2 \over 3}} ,0 < \alpha  < {\pi  \over 2}.\)

Ta có bảng biến thiên của hàm \(y\left( x \right) = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.{\cos ^2}x:\)

Vậy VS.ABC đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \alpha \) với \(0 < \alpha  < {\pi  \over 2}\) và \(\cos \alpha  = \sqrt {{2 \over 3}} .\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store