Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 4: Thể tích của khối đa diện

Bài 36 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao


Giải bài 36 trang 10 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Khối chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy...

Đề bài

Khối chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\); đáy là tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD bằng a, cạnh bên SB tạo với đáy một góc \( \alpha  \) và tạo với mặt \(\left( {SAD} \right)\) góc \(\beta \). Tính thể tích khối chóp.

Lời giải chi tiết

AB là hình chiếu của SB trên \(mp\left( {ABC} \right)\) nên \(\widehat {SBA} = \alpha \)

Dễ thấy \(BD \bot \left( {SAD} \right)\) nên hình chiếu của SB trên \(mp\left( {SAD} \right)\) là SD \( \Rightarrow \)  \(\widehat {BSD} = \beta \)

Do SAB và SDB là các tam giác vuông nên ta có \(SB = {{BD} \over {\sin \beta }},SB = {{AB} \over {\cos \alpha }},\) suy ra

\(\eqalign{   &{{A{B^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {{B{D^2}} \over {{{\sin }^2}\beta }} = {{A{B^2} - B{D^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta }} \cr&= {{{a^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta }}  \cr  &  \Rightarrow BD = {{a\sin \beta } \over {\sqrt {{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } }}, \cr} \)

\(\eqalign{  & SD = BD\cot \beta  = {{a\cos \beta } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } }},  \cr  & SA = \sqrt {S{D^2} - A{D^2}}  = {{a\sin \alpha } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } }}.  \cr  &  \cr} \)

Vậy :

\(\eqalign{  & {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}{S_{ABC}}.SA  \cr  &  = {1 \over 3}.a.{{a\sin \beta } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } }}.{{a\sin \alpha } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } }}  \cr  &  = {{{a^3}\sin \alpha .\sin \beta } \over {3\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } \right)}}. \cr} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store