Bài 42 trang 11 SBT Hình học 12 Nâng cao>
Giải bài 42 trang 11 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho đường tròn đường kính AB nằm trên mặt phẳng ...
Đề bài
Cho đường tròn đường kính AB nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) và một điểm M di động trên đường tròn. Trên đường thẳng vuông góc với \(mp\left( P \right)\) tại A, lấy một điểm S. Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua A vuông góc với SB tại K cắt SM tại H. Tìm vị trí của M để tính thể tích khối chóp S.AHK lớn nhất. Chứng minh rằng khi đó cung AM nhỏ hơn cung BM.
Lời giải chi tiết
\(\eqalign{ & MB \bot AM,MB \bot SA \cr & \Rightarrow MB \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow MB \bot AH(1) \cr & SB \bot \left( {AKH} \right) \Rightarrow SB \bot AH.(1) \cr} \)
Từ (1) và (2) suy ra \(\eqalign{ & AH \bot \left( {SMB} \right) \Rightarrow AH \bot SM,AH \bot HK. \cr & {V_{S.AHK}} = {1 \over 3}{S_{AHK}}.SK = {1 \over 6}AH.KH.SK. \cr} \)
Vì \(SK\) cố định nên :
\({V_{S.AHK}}\max \Leftrightarrow \left( {AH.KH} \right)\max \)
\(\Leftrightarrow \left( {A{H^2}.K{H^2}} \right)\max \Leftrightarrow A{H^2} = K{H^2} = {{A{K^2}} \over 2}\)
( vì \(A{H^2} + H{K^2} = A{K^2}\) không đổi).
Vậy ta chỉ cần xác định vị trí điểm M thỏa mãn điều kiện \(A{H^2} = {{A{K^2}} \over 2}.\left( * \right)\)
Đặt \(\widehat {MAB}\) =x,SA=h, AB=2R. Ta có
\(\eqalign{ & A{K^2} = {{S{A^2}.A{B^2}} \over {S{B^2}}} = {{4{R^2}{h^2}} \over {4{R^2} + {h^2}}}, \cr & AM = 2R{\mathop{\rm cosx}\nolimits} , \cr & A{H^2} = {{S{A^2}.A{M^2}} \over {S{M^2}}} = {{4{h^2}{R^2}{{\cos }^2}x} \over {{h^2} + 4{R^2}{{\cos }^2}x}}. \cr} \)
Từ \(\left( * \right)\) ta suy ra : \({\cos ^2}x = {{{h^2}} \over {2\left( {{h^2} + 2{R^2}} \right)}} < {1 \over 2}.\)
Từ đây ta xác định được x, tức là xác định được vị trí điểm M (có hai vị trí của điểm M ).
Từ \({\cos ^2}x < {1 \over 2}\) suy ra \({\mathop{\rm cosx}\nolimits} < {{\sqrt 2 } \over 2} = \cos {45^0} \Rightarrow x > {45^0} \).
Vậy cung BM lớn hơn cung AM
Loigiaihay.com
![](/themes/images/iconComment.png)
![](/themes/images/facebook-share.png)
- Bài 43 trang 11 SBT Hình học 12 Nâng cao
- Bài 44 trang 11 SBT Hình học 12 Nâng cao
- Bài 45 trang 11 SBT Hình học 12 Nâng cao
- Bài 46 trang 11 SBT Hình học 12 Nâng cao
- Bài 47 trang 11 SBT Hình học 12 Nâng cao
>> Xem thêm
- Bài 1.1 trang 10 SBT Giải tích 12 Nâng cao
- Bài 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32 trang 16 SBT Hình học 12 Nâng cao
- Bài 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 trang 67 SBT Hình học 12 Nâng cao
- Câu 4.25 trang 181 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao
- Câu 23 trang 211 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao