Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 4: Thể tích của khối đa diện

Bài 42 trang 11 SBT Hình học 12 Nâng cao


Giải bài 42 trang 11 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho đường tròn đường kính AB nằm trên mặt phẳng ...

Đề bài

Cho đường tròn đường kính AB nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) và một điểm M di động trên đường tròn. Trên đường thẳng vuông góc với \(mp\left( P \right)\) tại A, lấy một điểm S. Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua A vuông góc với SB tại K cắt SM tại H. Tìm vị trí của M để tính thể tích khối chóp S.AHK lớn nhất. Chứng minh rằng khi đó cung AM nhỏ hơn cung BM.

Lời giải chi tiết

\(\eqalign{  & MB \bot AM,MB \bot SA  \cr  &  \Rightarrow MB \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow MB \bot AH(1)  \cr  & SB \bot \left( {AKH} \right) \Rightarrow SB \bot AH.(1) \cr} \)

Từ (1) và (2) suy ra \(\eqalign{  & AH \bot \left( {SMB} \right) \Rightarrow AH \bot SM,AH \bot HK.  \cr  & {V_{S.AHK}} = {1 \over 3}{S_{AHK}}.SK = {1 \over 6}AH.KH.SK. \cr} \)

Vì \(SK\) cố định nên :

\({V_{S.AHK}}\max  \Leftrightarrow \left( {AH.KH} \right)\max  \)

\(\Leftrightarrow \left( {A{H^2}.K{H^2}} \right)\max  \Leftrightarrow A{H^2} = K{H^2} = {{A{K^2}} \over 2}\)

( vì \(A{H^2} + H{K^2} = A{K^2}\) không đổi).

Vậy ta chỉ cần xác định vị trí điểm M thỏa mãn điều kiện \(A{H^2} = {{A{K^2}} \over 2}.\left(  *  \right)\)

Đặt \(\widehat {MAB}\) =x,SA=h, AB=2R. Ta có

\(\eqalign{  & A{K^2} = {{S{A^2}.A{B^2}} \over {S{B^2}}} = {{4{R^2}{h^2}} \over {4{R^2} + {h^2}}},  \cr  & AM = 2R{\mathop{\rm cosx}\nolimits} ,  \cr  & A{H^2} = {{S{A^2}.A{M^2}} \over {S{M^2}}} = {{4{h^2}{R^2}{{\cos }^2}x} \over {{h^2} + 4{R^2}{{\cos }^2}x}}. \cr} \)

Từ \(\left(  *  \right)\) ta suy ra : \({\cos ^2}x = {{{h^2}} \over {2\left( {{h^2} + 2{R^2}} \right)}} < {1 \over 2}.\)

Từ đây ta xác định được x, tức là xác định được vị trí điểm M (có hai vị trí của điểm M ).

Từ \({\cos ^2}x < {1 \over 2}\) suy ra \({\mathop{\rm cosx}\nolimits}  < {{\sqrt 2 } \over 2} = \cos {45^0} \Rightarrow x > {45^0}  \).

Vậy cung BM lớn hơn cung AM

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store