Bài 26 trang 9 SBT hình học 12 nâng cao


Giải bài 26 trang 9 sách bài tập hình học 12 nâng cao. Cho khối hộp ...

Đề bài

Cho khối hộp \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a, góc \(\widehat {{A_1}AB} = \widehat {BAD} = \widehat {{A_1}AD}= \alpha\) \( \left( {{0^0} < \alpha  < {{90}^0}} \right).\) Hãy tính thể tích của khối hộp.

Lời giải chi tiết

Hạ \({A_1}H \bot AC(H \in AC)\left(  *  \right).\)

Tam giác A1BD cân ( do \({A_1}B = {A_1}D)\) suy ra \(BD \bot {A_1}O\). Mặt khác

\(\eqalign{  & BD \bot AC  \cr  &  \Rightarrow BD \bot \left( {{A_1}AO} \right) \Rightarrow BD \bot {A_1}H\left( { *  * } \right). \cr} \)

Từ \(\left(  *  \right)\) và \(\left( { *  * } \right) \Rightarrow {A_1}H \bot \left( {ABCD} \right).\)

Đặt  \(\widehat {{A_1}AO} = \varphi .\) Ta có hệ thức :

\(\cos \alpha  = cos\varphi .cos{\alpha  \over 2}\)

Thật vậy, hạ \({A_1}K \bot AD \Rightarrow HK \bot AK\) (định lý ba đường vuông góc )

\( \Rightarrow \cos \varphi .cos{\alpha  \over 2} = {{AH} \over {A{A_1}}}.{{AK} \over {AH}} = {{AK} \over {A{A_1}}} = \cos \alpha .\)

Từ đẳng thức trên ta suy ra : \(cos\varphi  = {{cos\alpha } \over {cos{\alpha  \over 2}}}.\)

Do đó

\({A_1}H = a.\sin \varphi  = a\sqrt {1 - {{{{\cos }^2}_\alpha } \over {co{s^2}{\alpha  \over 2}}}}  \)

\(= {a \over {cos{\alpha  \over 2}}}\sqrt {{{\cos }^2}_{{\alpha  \over 2}} - co{s^2}_\alpha } .\)

\(\eqalign{  & {V_{ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = AB.AD.\sin \alpha .{A_1}H \cr&= {a^2}.\sin a.{a \over {cos{\alpha  \over 2}}}\sqrt {co{s^2}{\alpha  \over 2} - co{s^2}\alpha }   \cr  &  = 2{a^3}\sin {\alpha  \over 2}\sqrt {co{s^2}{\alpha  \over 2} - co{s^2}\alpha } . \cr} \)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài