Bài 35 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao>
Giải bài 35 trang 10 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho khối chóp tứ giác đều ...
Đề bài
Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến \(mp\left( {SBC} \right)\) bằng 2a. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của khối chóp là nhỏ nhất ?
Lời giải chi tiết
Giả sử O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi EH là đường trung bình của hình vuông ABCD \(\left( {E \in AD,H \in BC} \right).\)
Vì \(AD//BC\) nên \(AD//\left( {SBC} \right)\), do đó
\(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {E,\left( {SBC} \right)} \right)\)
Kẻ \(EK \bot SH\). Dễ thấy \(EK \bot \left( {SBC} \right)\) suy ra
\(EK = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2a.\)
Ta có : \(BC \bot SH,BC \bot OH \Rightarrow \)\(\widehat {SHO}\) là góc giữa mặt bên \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng đáy. Đặt \(\widehat {SHO} =x\left( {0 < x < {\pi \over 2}} \right)\). Khi đó :
\(EH = {{2a} \over {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }};\;OH = {a \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}};\;SO = {a \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{\mathop{\rm tanx}\nolimits} = {a \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} }}\)
Vậy: \({V_{S.ABCD}} = {1 \over 3}{S_{ABCD}}.SO = {{4{a^3}} \over {3\cos x{{\sin }^2}x}}\)
Từ đó \({V_{S.ABCD}}\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(y\left( x \right) = \cos x.{\sin ^2}x\) đạt giá trị lớn nhất. Ta có:
\(\eqalign{
y'\left( x \right) &= - {\sin ^3}x + 2\sin x.{\cos ^2}x \cr
& = \sin x\left( {2{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) \cr
& = \sin x\left( {2 - 3{{\sin }^2}x} \right) \cr
& = 3\sin x\left( {\sqrt {{2 \over 3}} - \sin x} \right)\left( {\sqrt {{2 \over 3}} + \sin x} \right) \cr} \)
Vì \(0 < x < {\pi \over 2}\) nên \(\sin x\left( {\sqrt {{2 \over 3}} + \sin x} \right) > 0\)
Gọi \(\alpha \) là góc sao cho \(\sin \alpha = \sqrt {{2 \over 3}} ;\,\,0 < \alpha < {\pi \over 2}\)
Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y\left( x \right) = \cos x.{\sin ^2}x\):
Vậy \({V_{S.ABCD}}\) đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \alpha \) với \(0 < \alpha < {\pi \over 2}\) và \(\sin x = \sqrt {{2 \over 3}} .\)
Loigiaihay.com
![](/themes/images/iconComment.png)
![](/themes/images/facebook-share.png)
- Bài 36 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
- Bài 37 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
- Bài 38 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
- Bài 39 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
- Bài 40 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao
>> Xem thêm
- Bài 1.1 trang 10 SBT Giải tích 12 Nâng cao
- Bài 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32 trang 16 SBT Hình học 12 Nâng cao
- Bài 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 trang 67 SBT Hình học 12 Nâng cao
- Câu 4.25 trang 181 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao
- Câu 23 trang 211 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao