Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 4: Thể tích của khối đa diện

Bài 38 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao


Giải bài 38 trang 10 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho tứ diện ABCD. Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD...

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD, \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng đó. Chứng minh rằng

\({V_{ABCD}} = {1 \over 6}AB.CD.d.\sin \alpha .\)

Lời giải chi tiết

Cách 1:


Dựng hình hộp AEBF.MDNC ( gọi là hình hộp ngoại tiếp tứ diện ABCD).

Vì \(\left( {AEBF} \right)//\left( {MDNC} \right)\) nên chiều cao của hình hộp bằng khoảng cách d giữa AB và CD.

Theo bài 37 ta có :

\({V_{ABCD}} = {1 \over 3}\) Vhộp

\(\eqalign{  &  = {1 \over 3}{S_{MDNC}}.d  \cr  &  = {1 \over 3}.{1 \over 2}MN.CD\sin \alpha .d = {1 \over 6}AB.CD.d\sin \alpha . \cr} \)

Cách 2.

Dựng hình bình hành ABCE . Khi đó :

\({V_{A.BCD}} = {V_{E.BCD}}\) (do \(AE//\left( {BCD} \right)\))       (1)

\(\eqalign{  & {V_{E.BCD}} = {V_{B.ECD}}\;\;\;\;\;(2)  \cr  & {V_{B.ECD}} = {1 \over 3}{S_{ECD}}.d\left( {B,\left( {CDE} \right)} \right)\;\;\;(3)  \cr  &  \cr} \)

\({S_{ECD}} = {1 \over 2}CE.CD.\sin \widehat {ECD}\)

\(= {1 \over 2}AB.CD\sin \alpha \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4) \)

\(d\left( {B,\left( {CDE} \right)} \right) = d\left( {AB,CD} \right)(\) do \(AB//\left( {CDE} \right))\;(5)\)

Từ (1), (2), (3), (4), (5) suy  ra :

\({V_{ABCD}} = {1 \over 6}AB.CD.d\sin \alpha .\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store