Bài 31 trang 23 SGK Toán 9 tập 2

Giải bài 31 trang 23 SGK Toán 9 tập 2. Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi

Đề bài

Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên \(3\) cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm \(36\) cm², và nếu một cạnh giảm đi \(2\)cm, cạnh kia giảm đi \(4\) cm thì diện tích của tam giác giảm đi \(26\) cm²

Lời giải chi tiết

Gọi \(x\) (cm), \(y\) (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. Điều kiện \(x > 0, y > 0\).

Suy ra diện tích tam giác vuông lúc ban đầu là: \(S=\dfrac{1}{2}xy\).

Độ dài hai cạnh sau khi tăng thêm \(3\) cm là:  \((x+3)\) và \((y+3)\).

Suy ra diện tích tam giác sau khi tăng độ dài cạnh là: \(\dfrac{1}{2}(x+3)(y+3) \)

Vì diện tích tăng thêm \(36\) cm² nên ta được:

\(\dfrac{1}{2}(x + 3)(y + 3)= \dfrac{1}{2}xy + 36\)

Độ dài cạnh sau khi một cạnh giảm \(2\) cm, cạnh kia giảm \(4\) cm là: \((x-2)\) và \((y-4)\)

Suy ra diện tích tam giác sau khi giảm độ dài cạnh là: \(\dfrac{1}{2}(x-2)(y-4)\)

Vì diện tích tam giác giảm \(26\) \(cm^2\) nên ta có:

\(\dfrac{1}{2}(x - 2)(y- 4) = \dfrac{1}{2}xy - 26\)

Ta có hệ phương trình

\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{2}(x + 3)(y + 3)= \dfrac{1}{2}xy + 36 & & \\ \dfrac{1}{2}(x - 2)(y- 4) = \dfrac{1}{2}xy - 26 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x + 3)(y + 3)= xy + 72 & & \\ (x -2)(y - 4)= xy -52 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy + 3x + 3y + 9 = xy + 72 & & \\ xy - 4x - 2y + 8 = xy - 52 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy + 3x + 3y -xy  = 72-9 & & \\ xy - 4x - 2y + 8 - xy= - 52 -8& & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x + 3y = 63 & & \\ -4x - 2y =- 60 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6x + 6y = 126 & & \\ 12x + 6y = 180 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6x= 54 & & \\ 12x + 6y = 180 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 9 & & \\  6y = 180-12x & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x  = 9 & & \\ 6y = 180-12.9& & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x  = 9 & & \\ y = 12 & & \end{matrix}(thỏa \ mãn) \right.\)

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là \(9\) cm, \(12\) cm.

loigiaihay.com