Bài 66 trang 41 SBT toán 8 tập 1


Giải bài 66 trang 41 sách bài tập toán 8. a. Với mọi giá trị của x khác ± 1, biểu thức...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chú ý rằng nếu \(c > 0\) thì \({\left( {a + b} \right)^2} + c\) và \({\left( {a - b} \right)^2} + c\) đều dương với mọi \(a, b\). Áp dụng điều này chứng minh rằng :

LG a

Với mọi giá trị của \(x \ne \pm 1\), biểu thức \(\displaystyle {{x + 2} \over {x - 1}}.\left( {{{{x^3}} \over {2x + 2}} + 1} \right) - {{8x + 7} \over {2{x^2} - 2}}\) luôn luôn có giá trị dương;

Phương pháp giải:

- Thực hiện phép tính và biến đổi phân thức về dạng đơn giản.

- Vận dụng kiến thức \((a+b)^2 \geqslant 0\) với mọi \(a, b\).

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {{x + 2} \over {x - 1}}.\left( {{{{x^3}} \over {2x + 2}} + 1} \right) - {{8x + 7} \over {2{x^2} - 2}}\) điều kiện \(x \ne 1\) và \(x \ne  - 1\) 

\(\displaystyle = {{x + 2} \over {x - 1}}.{{{x^3} + 2x + 2} \over {2\left( {x + 1} \right)}} - {{8x + 7} \over {2\left( {{x^2} - 1} \right)}}\)\(\displaystyle  = {{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^3} + 2x + 2} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \)\(-\displaystyle  {{8x + 7} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}  \)\(\displaystyle = {{{x^4} + 2{x^2} + 2x + 2{x^3} + 4x + 4 - 8x - 7} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\(\displaystyle   = {{{x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} - 2x - 3} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\(\displaystyle  = {{{x^4} - {x^2} + 2{x^3} - 2x + 3{x^2} - 3} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\(\displaystyle   = {{{x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) + 2x\left( {{x^2} - 1} \right) + 3\left( {{x^2} - 1} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\(\displaystyle  = {{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)} \over {2\left( {{x^2} - 1} \right)}}\)\(\displaystyle   = {{{x^2} + 2x + 3} \over 2}\) 

Biểu thức dương khi \({x^2} + 2x + 3 > 0\) ta có : \({x^2} + 2x + 3 = {x^2} + 2x + 1 + 2\)\( = {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 > 0\) với mọi giá trị của \(x.\)

Vậy giá trị của biểu thức dương với mọi giá trị \(x \ne  - 1\) và \(x \ne 1\).

LG b

Với mọi giá trị của \(x \ne 0\) và \(\ne – 3\), biểu thức : \(\displaystyle {{1 - {x^2}} \over x}.\left( {{{{x^2}} \over {x + 3}} - 1} \right) \)\(+\displaystyle  {{3{x^2} - 14x + 3} \over {{x^2} + 3x}}\) luôn luôn có giá trị âm.

Phương pháp giải:

- Thực hiện phép tính và biến đổi phân thức về dạng đơn giản.

- Vận dụng kiến thức \((a+b)^2 \geqslant 0\) với mọi \(a, b\).

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {{1 - {x^2}} \over x}.\left( {{{{x^2}} \over {x + 3}} - 1} \right) \)\(+\displaystyle  {{3{x^2} - 14x + 3} \over {{x^2} + 3x}}\) điều kiện \(x \ne 0\) và \(x \ne  - 3\)

\(\displaystyle = {{1 - {x^2}} \over x}.{{{x^2} - \left( {x + 3} \right)} \over {x + 3}}\)\(+\displaystyle  {{3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}}\)

\( \displaystyle = {{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {{x^2} - x - 3} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)}} \)\(+\displaystyle \displaystyle  {{3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}}\)

\(\displaystyle   = {{{x^2} - x - 3 - {x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}}\)

\(\displaystyle  = {{ - {x^4} + {x^3} + 7{x^2} - 15x} \over {x\left( {x + 3} \right)}}\)

\(\displaystyle  = {{x\left( { - {x^3} + {x^2} + 7x - 15} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)}} \)\(\displaystyle  = {{ - {x^3} + {x^2} + 7x - 15} \over {x + 3}} \)

\(\displaystyle = {{ - {x^3} - 3{x^2} + 4{x^2} + 12x - 5x - 15} \over {x + 3}}\)

\(\displaystyle = {{ - {x^2}\left( {x + 3} \right) + 4x\left( {x + 3} \right) - 5\left( {x + 3} \right)} \over {x + 3}} \)\(\displaystyle= {{\left( {x + 3} \right)\left( { - {x^2} + 4x - 5} \right)} \over {x + 3}}\)

\(\displaystyle   =  - {x^2} + 4x - 5 =  - \left( {{x^2} - 4x + 5} \right)\)

Vì \({x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 + 1 \)\(= {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 > 0\) với mọi giá trị của \(x\)

nên \( - \left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 1} \right] < 0\) với mọi giá trị của \(x\).

Vậy giá trị của biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị \(x \ne 0\) và \(x \ne  - 3\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10 năm học 2021-2022, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài