Bài 66 trang 41 SBT toán 8 tập 1

LG a

Với mọi giá trị của $x \ne \pm 1$, biểu thức $\displaystyle {{x + 2} \over {x - 1}}.\left( {{{{x^3}} \over {2x + 2}} + 1} \right) - {{8x + 7} \over {2{x^2} - 2}}$ luôn luôn có giá trị dương;

Phương pháp giải:

- Thực hiện phép tính và biến đổi phân thức về dạng đơn giản.

- Vận dụng kiến thức $(a+b)^2 \geqslant 0$ với mọi $a, b$.

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle {{x + 2} \over {x - 1}}.\left( {{{{x^3}} \over {2x + 2}} + 1} \right) - {{8x + 7} \over {2{x^2} - 2}}$ điều kiện $x \ne 1$ và $x \ne  - 1$ 

$\displaystyle = {{x + 2} \over {x - 1}}.{{{x^3} + 2x + 2} \over {2\left( {x + 1} \right)}} - {{8x + 7} \over {2\left( {{x^2} - 1} \right)}}$$\displaystyle  = {{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^3} + 2x + 2} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$-\displaystyle  {{8x + 7} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$\displaystyle = {{{x^4} + 2{x^2} + 2x + 2{x^3} + 4x + 4 - 8x - 7} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$\displaystyle   = {{{x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} - 2x - 3} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$\displaystyle  = {{{x^4} - {x^2} + 2{x^3} - 2x + 3{x^2} - 3} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$\displaystyle   = {{{x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) + 2x\left( {{x^2} - 1} \right) + 3\left( {{x^2} - 1} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$\displaystyle  = {{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)} \over {2\left( {{x^2} - 1} \right)}}$$\displaystyle   = {{{x^2} + 2x + 3} \over 2}$ 

Biểu thức dương khi ${x^2} + 2x + 3 > 0$ ta có : ${x^2} + 2x + 3 = {x^2} + 2x + 1 + 2$$= {\left( {x + 1} \right)^2} + 2 > 0$ với mọi giá trị của $x.$

Vậy giá trị của biểu thức dương với mọi giá trị $x \ne  - 1$ và $x \ne 1$.

LG b

Với mọi giá trị của $x \ne 0$ và $\ne – 3$, biểu thức : $\displaystyle {{1 - {x^2}} \over x}.\left( {{{{x^2}} \over {x + 3}} - 1} \right)$$+\displaystyle  {{3{x^2} - 14x + 3} \over {{x^2} + 3x}}$ luôn luôn có giá trị âm.

Phương pháp giải:

- Thực hiện phép tính và biến đổi phân thức về dạng đơn giản.

- Vận dụng kiến thức $(a+b)^2 \geqslant 0$ với mọi $a, b$.

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle {{1 - {x^2}} \over x}.\left( {{{{x^2}} \over {x + 3}} - 1} \right)$$+\displaystyle  {{3{x^2} - 14x + 3} \over {{x^2} + 3x}}$ điều kiện $x \ne 0$ và $x \ne  - 3$

$\displaystyle = {{1 - {x^2}} \over x}.{{{x^2} - \left( {x + 3} \right)} \over {x + 3}}$$+\displaystyle  {{3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}}$

$\displaystyle = {{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {{x^2} - x - 3} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)}}$$+\displaystyle \displaystyle  {{3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}}$

$\displaystyle   = {{{x^2} - x - 3 - {x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}}$

$\displaystyle  = {{ - {x^4} + {x^3} + 7{x^2} - 15x} \over {x\left( {x + 3} \right)}}$

$\displaystyle  = {{x\left( { - {x^3} + {x^2} + 7x - 15} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)}}$$\displaystyle  = {{ - {x^3} + {x^2} + 7x - 15} \over {x + 3}}$

$\displaystyle = {{ - {x^3} - 3{x^2} + 4{x^2} + 12x - 5x - 15} \over {x + 3}}$

$\displaystyle = {{ - {x^2}\left( {x + 3} \right) + 4x\left( {x + 3} \right) - 5\left( {x + 3} \right)} \over {x + 3}}$$\displaystyle= {{\left( {x + 3} \right)\left( { - {x^2} + 4x - 5} \right)} \over {x + 3}}$

$\displaystyle   =  - {x^2} + 4x - 5 =  - \left( {{x^2} - 4x + 5} \right)$

Vì ${x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 + 1$$= {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 > 0$ với mọi giá trị của $x$

nên $- \left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 1} \right] < 0$ với mọi giá trị của $x$.

Vậy giá trị của biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị $x \ne 0$ và $x \ne  - 3$

Loigiaihay.com