Bài 64 trang 41 SBT toán 8 tập 1


Giải bài 64 trang 41 sách bài tập toán 8. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm điều kiện của \(x\) để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến:

LG a

\(\displaystyle {\displaystyle {x - {1 \over x}} \over {\displaystyle {{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}}}\)

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện của \(x\) để giá trị tương ứng của biểu thức khác \(0\). 

- Thực hiện các phép tính theo đúng quy tắc, chứng minh biểu thức đã cho có giá trị là một hằng số.

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {{x - \displaystyle {1 \over x}} \over {\displaystyle {{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}}}\) 

Ta có: \(x - \displaystyle {1 \over x}\) xác định khi \(x ≠ 0\)

\(\displaystyle {{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}\) xác định khi \(x ≠ 0\)

\(\displaystyle {{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x} \ne 0\) \( \Rightarrow \dfrac{{{x^2} + 2x + 1 - 2x - 2}}{x} \ne 0\) \(\displaystyle  \Rightarrow {{{x^2} - 1} \over x} \ne 0\)

\( \Rightarrow {x^2} - 1 \ne 0 \) \(  \Rightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) \ne 0 \)\(\Rightarrow x \ne  - 1\) và \(x \ne 1 \)

Vậy với \(x ≠ 0, x ≠ 1\) và \(x ≠ -1\) thì biểu thức xác định.

Ta có:

\(\displaystyle {{x - \displaystyle {1 \over x}} \over {\displaystyle {{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}}}\)\( \displaystyle = {\displaystyle {{{{x^2} - 1} \over x}} \over {\displaystyle{{{x^2} - 1} \over x}}}\)\(\displaystyle = {\displaystyle {{x^2} - 1} \over x}.{x \over {{x^2} - 1}} = 1\)

Vậy với điều kiện \(x ≠ 0, x ≠ 1\) và \(x ≠ -1\) thì biểu thức đã cho không phụ thuộc biến \(x.\)

LG b

\(\displaystyle {\displaystyle {{x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}} \over {\displaystyle {{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}}}\) 

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện của \(x\) để giá trị tương ứng của biểu thức khác \(0\). 

- Thực hiện các phép tính theo đúng quy tắc, chứng minh biểu thức đã cho có giá trị là một hằng số.

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {\displaystyle {{x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}} \over {\displaystyle {{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}}}\)

Ta có: \(\displaystyle {x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}\) xác định khi \(x + 1 ≠ 0\) và \(x – 1 ≠ 0\)\(\Rightarrow x \ne  \pm 1\)

\(\displaystyle {{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}\) xác định khi \(x – 1 ≠ 0\) và \({x^2} - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne  \pm 1\)

\(\displaystyle {{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}} \ne 0\)\( \Rightarrow \displaystyle {{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) - 4x} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \ne 0\)

\( \Rightarrow \displaystyle {{2{x^2} + 2x + 2x + 2 - 4x} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \ne 0\)\( \Rightarrow \displaystyle {{2{x^2} + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \ne 0\) với mọi \(x\)

Vậy điều kiện để biểu thức xác định là \(x ≠ 1\) và \(x ≠ -1\)

Ta có:

\(\displaystyle {\displaystyle{{x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}} \over {\displaystyle {{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}}}\)

\( \displaystyle = {\displaystyle {{{x\left( {x - 1} \right) + \left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \over {\displaystyle {{2{x^2} + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}}}\)

\( = \dfrac{{{x^2} - x + x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}:\dfrac{{2\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \displaystyle {{{x^2} + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}.{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {2\left( {{x^2} + 1} \right)}}\)\(\displaystyle  = {1 \over 2}\)

Vậy với điều kiện \( x ≠ 1\) và \(x ≠ -1\) thì biểu thức đã cho không phụ thuộc biến \(x.\)

\(x ≠ 0, x ≠ 1\) và \(x ≠ -1\)

LG c

\(\displaystyle {1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}\)\(.\displaystyle \left( {{x \over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 \over {{x^2} - 1}}} \right)\)

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện của \(x\) để giá trị tương ứng của biểu thức khác \(0\). 

- Thực hiện các phép tính theo đúng quy tắc, chứng minh biểu thức đã cho có giá trị là một hằng số.

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}\)\(.\displaystyle \left( {{x \over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 \over {{x^2} - 1}}} \right)\)

Biểu thức xác định khi \(x – 1 ≠ 0,\) \({x^2} - 2x + 1 \ne 0\) và \({x^2} - 1 \ne 0\)

\(x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1 \)

\( {x^2} - 2x + 1 \ne 0 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0\)\( \Rightarrow x \ne 1  \)

\( {x^2} - 1 \ne 0 \Rightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) \ne 0 \)\(\Rightarrow x \ne  - 1\) và \(x \ne 1 \)

Vậy biểu thức xác định với \(x ≠ -1\) và \(x ≠ 1\)

Ta có: \(\displaystyle {1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}\)\(.\displaystyle \left( {{x \over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 \over {{x^2} - 1}}} \right)\)

\(\displaystyle = {1 \over {x - 1}} - {{x\left( {{x^2} - 1} \right)} \over {{x^2} + 1}}\)\(.\displaystyle \left[ {{x \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - {1 \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \right] \)

\(\displaystyle   = {1 \over {x - 1}} - {{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {{x^2} + 1}}\)\(\displaystyle \displaystyle .{{x\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}}  \)\(\displaystyle   = {1 \over {x - 1}} - {{x\left( {{x^2} + x - x + 1} \right)} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)\(\displaystyle  = {1 \over {x - 1}} - {{x\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \)\(\displaystyle = {1 \over {x - 1}} - {x \over {x - 1}}  \)\(\displaystyle  = {{ - \left( {x - 1} \right)} \over {x - 1}} =  - 1  \) 

Vậy với điều kiện \(x ≠ 1\) và \(x ≠ -1\) thì biểu thức đã cho không phụ thuộc biến \(x.\)

LG d

\(\displaystyle \left( {{x \over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right)\)\(:\displaystyle {{2x - 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 - x}}\)

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện của \(x\) để giá trị tương ứng của biểu thức khác \(0\). 

- Thực hiện các phép tính theo đúng quy tắc, chứng minh biểu thức đã cho có giá trị là một hằng số.

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle \left( {{x \over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right)\)\(:\displaystyle {{2x - 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 - x}}\)

Biểu thức xác định khi \( {x^2} - 36 \ne 0,\) \({x^2} + 6x \ne 0,\) \(6 - x \ne 0,\) \(2x - 6 \ne 0  \)

+) \({x^2} - 36 \ne 0 \Rightarrow \left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) \ne 0\)\( \Rightarrow x \ne 6\) và \(x \ne  - 6  \)

+) \({x^2} + 6x \ne 0 \Rightarrow x\left( {x + 6} \right) \ne 0\)\( \Rightarrow x \ne 0\) và \(x \ne  - 6 \)

+) \( 6 - x \ne 0 \Rightarrow x \ne 6  \);

+) \( 2x - 6 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3 \).

Vậy \(x ≠ 0,\) \(x ≠ 3,\) \(x ≠ 6\) và \(x ≠ -6\) thì biểu thức xác định.

Ta có : \(\displaystyle \left( {{x \over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right):{{2x - 6} \over {{x^2} + 6x}}\)\(  + \displaystyle {x \over {6 - x}}\)

\(\displaystyle  = \left[ {{x \over {\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}} - {{x - 6} \over {x\left( {x + 6} \right)}}} \right]\)\(:\displaystyle {{2x - 6} \over {x\left( {x + 6} \right)}} + {x \over {6 - x}} \)\(\displaystyle  = {{{x^2} - {{\left( {x - 6} \right)}^2}} \over {x\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}}.{{x\left( {x + 6} \right)} \over {2\left( {x - 3} \right)}}\)\(\displaystyle + {x \over {6 - x}}\)\(\displaystyle = {{{x^2} - {x^2} + 12x - 36} \over {x\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}}.{{x\left( {x + 6} \right)} \over {2\left( {x - 3} \right)}}\)\(\displaystyle + {x \over {6 - x}}\)\(\displaystyle  = {{12\left( {x - 3} \right)} \over {x - 6}}.{1 \over {2\left( {x - 3} \right)}} + {x \over {6 - x}}\)\(\displaystyle = {6 \over {x - 6}} - {x \over {x - 6}} = {{ - \left( {x - 6} \right)} \over {x - 6}} =  - 1 \)

Vậy với điều kiện \(x ≠ 0,\) \(x ≠ 3,\) \(x ≠ 6\) và \(x ≠ -6\) thì biểu thức đã cho không phụ thuộc biến \(x.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 9 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 8 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K10 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.