Bài 12 trang 197 SBT toán 9 tập 2


Giải bài 12 trang 197 sách bài tập toán 9. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Trên đường chéo BD lấy điểm E sao cho góc DAE = góc BAC ...

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \((O)\). Trên đường chéo \(BD\) lấy điểm \(E\) sao cho \(\widehat {DAE} = \widehat {BAC}\). Chứng minh:

a) \(\,\Delta ADE \backsim \Delta ACB,\)\(\,\Delta ABE \backsim \Delta ACD;\)

b) \(\,AD.BC + AB.CD = AC.BD.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

Các góc nội tiếp chắn cùng một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

- Hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\,\Delta ADE \) và \( \Delta ACB\) có:

\( \widehat {ADE} = \widehat {ACB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(AB\))

\(\widehat {DAE} = \widehat {CAB}\) (gt)

\( \Rightarrow \,\Delta ADE \backsim \Delta ACB\) (g.g)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\widehat {BAE} = \widehat {BAC} + \widehat {CAE}\\
\widehat {CAD} = \widehat {DAE} + \widehat {CAE}
\end{array}\)

Mà \(\widehat {BAC} = \widehat {DAE}\) (gt) nên \(\widehat {BAE} = \widehat {CAD}\)

Xét \(\Delta ABE \) và \( \Delta ACD\) có:

\(\widehat {BAE} = \widehat {CAD}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(AD\))

\( \Rightarrow \,\Delta ABE \backsim \Delta ACD\) (g.g).

b) Vì \(\Delta ADE \backsim \Delta ACB\) (câu a) suy ra \(\dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{DE}}{{CB}}\)

\(\Rightarrow AD.CB = AC.DE\)     (1)

Vì \(\Delta ABE \backsim \Delta ACD\) (câu a) suy ra \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{BE}}{{CD}}\)

\(\Rightarrow AB.CD = AC.BE\)     (2)

Từ (1) và (2) ta có:

\(AD.CB + AB.CD\)\(\, = AC.DE + AC.BE\)\(\, = AC.\left( {DE + BE} \right) = AC.BD.\)

Vậy \(\,AD.BC + AB.CD = AC.BD.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 6 phiếu

>>  Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài