Bài 101* trang 29 SBT toán 6 tập 2

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài 101* trang 29 sách bài tập toán 6. Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó thì không nhỏ hơn 2.

Đề bài

Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó thì không nhỏ hơn 2.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng: Nếu phân số \(\dfrac{a}{b}\neq 0\) thì số nghịch đảo của nó là \(\dfrac{b}{a}.\)

Lời giải chi tiết

Lấy phân số bất kì \(\displaystyle {a \over b}\) với \(a > 0, b > 0.\) Không mất tính tổng quát giả sử \(0 < a ≤ b.\)

Đặt \(b = a + m\; (m ∈ Z, m ≥ 0).\)

Số nghịch đảo của \(\displaystyle {a \over b}\) là \(\displaystyle {b \over a}.\) Ta có :

\(\displaystyle {a \over b} + {b \over a} = {a \over {a + m}} + {{a + m} \over a} \)

              \(\displaystyle = {a \over {a + m}} + {m \over a} + {a \over a} \)

              \(\displaystyle = {a \over {a + m}} + {m \over a} + 1\)            \((1)\)

Ta có: \(\displaystyle {m \over {a}} \ge {m \over {a + m}}\) (dấu bằng xảy ra khi \(m = 0\)).

Suy ra: \(\displaystyle {a \over {a + m}} + {m \over a} \ge {a \over {a + m}} + {m \over {a + m}} \)\(\displaystyle= {{a + m} \over {a + m}} = 1\)         \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\displaystyle {a \over b} + {b \over a} \ge 1 + 1 = 2.\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(m = 0\) hay \(a = b.\)

Loigiaihay.com

Các bài liên quan: - Bài 12. Phép chia phân số

>>Học trực tuyến lớp 6 trên Tuyensinh247.com mọi lúc, mọi nơi với đầy đủ các môn: Toán, Văn, Anh, Lý, Sử, Sinh, Địa cùng các thầy cô nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu