Bài 10 trang 80 SBT toán 8 tập 1


Đề bài

Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Quảng cáo
decumar

Lời giải chi tiết

Đặt độ dài \(AB = a,\) \(BC = b,\) \( CD = c,\) \(AD = d\)

Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD\)

Trong \(∆OAB,\) ta có:

\(OA + OB > a\) (bất đẳng thức tam giác)\( (1)\)

Trong \(∆OCD\) ta có:

\(OC + OD > c\) (bất đẳng thức tam giác)\( (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra:

\(OA + OB + OC + OD > a + c\)

Hay \(AC + BD > a + c  \;\;(*)\)

Trong \(∆OAD\) ta có: \(OA + OD > d\) (bất đẳng thức tam giác) \((3)\)

Trong \(∆OBC\) ta có: \(OB + OC > b\) (bất đẳng thức tam giác) \((4)\)

Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \(OA + OD + OB + OC > b + d\)

\(⇒ AC + BD > b + d \;\;(**)\)

Từ \((*)\) và \((**)\) suy ra: \(2(AC + BD) > a + b + c + d\)

\(⇒ AC + BD > \displaystyle {{a + b + c + d} \over 2}\)

Trong \(∆ABC\) ta có: \(AC < AB + BC =  a + b\) (bất đẳng thức tam giác)

Trong \(∆ADC\) ta có: \(AC < AD + DC = c + d\) (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: \(2AC < a + b + c + d\)

\(AC < \displaystyle {{a + b + c + d} \over 2}\)   \((5)\)

Trong \(∆ABD\) ta có: \(BD < AB + AD = a + d\) (bất đẳng thức tam giác)

Trong \(∆BCD\) ta có: \(BD < BC + CD = b + c\) (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: \(2BD < a + b + c + d\)

\(BD < \displaystyle {{a + b + c + d} \over 2}\)   \((6)\)

Từ \((5)\) và \((6)\) suy ra: \(AC + BD < a + b + c + d\)

Vậy \(\displaystyle {{a + b + c + d} \over 2}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 12 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 8 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K10 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.