Bài 8 trang 58 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Cho phương trình

Đề bài

Cho phương trình \({x^2} - 2mx + m - 2 = 0\) (m là tham số)

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để biểu thức \(M = \dfrac{{ - 24}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2 - 6{x_1}{x_2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a)Để chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ta chứng minh cho \(\Delta \left( {\Delta '} \right) > 0,\forall m\)

b) Biến đổi biểu thức M về biểu thức có chứa \({x_1} + {x_1};{x_1}.{x_2}\)  sau đó thay hệ thức Viet \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\) vào M ta rồi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đó.

Lời giải chi tiết

a) \({x^2} - 2mx + m - 2 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - \left( {m - 2} \right) \\\;\;\;\;\;= {m^2} - m + 2\\ \;\;\;\;\;= {m^2} - 2.\dfrac{1}{2}.m + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} + 2\\\;\;\;\;\; = {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0,\forall m\end{array}\)

Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Do phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) nên áp dụng hệ thức Viet cho phương trình (1) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = m - 2\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}M = \dfrac{{ - 24}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2 - 6{x_1}{x_2}}}\\\;\;\;\;\; = \dfrac{{ - 24}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 6{x_1}{x_2}}}\\\;\;\;\;\; = \dfrac{{ - 24}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 8{x_1}{x_2}}}\\\;\;\;\;\; = \dfrac{{ - 24}}{{4{m^2} - 8\left( {m - 2} \right)}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{{ - 24}}{{4{m^2} - 8m + 16}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{6}{{ - {m^2} + 2m - 4}}\end{array}\)

M đạt giá trị nhỏ nhất khi \( - {m^2} + 2m - 4\) đạt giá trị lớn nhất

Ta có: \( - {m^2} + 2m - 4 \)\(\,=  - \left( {{m^2} - 2m + 4} \right) \)\(\,=  - \left[ {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 3} \right] \)\(\,=  - {\left( {m - 1} \right)^2} - 3 \le  - 3,\forall m\)

Khi đó ta có: \(M \ge \dfrac{6}{{ - 3}} =  - 2 \Leftrightarrow m = 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là -2 khi m = 1.

Loigiaihay.com

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com

Gửi văn hay nhận ngay phần thưởng