Bài 8 trang 58 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2


Đề bài

Cho phương trình \({x^2} - 2mx + m - 2 = 0\) (m là tham số)

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để biểu thức \(M = \dfrac{{ - 24}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2 - 6{x_1}{x_2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a)Để chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ta chứng minh cho \(\Delta \left( {\Delta '} \right) > 0,\forall m\)

b) Biến đổi biểu thức M về biểu thức có chứa \({x_1} + {x_1};{x_1}.{x_2}\)  sau đó thay hệ thức Viet \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\) vào M ta rồi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đó.

Lời giải chi tiết

a) \({x^2} - 2mx + m - 2 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - \left( {m - 2} \right) \\\;\;\;\;\;= {m^2} - m + 2\\ \;\;\;\;\;= {m^2} - 2.\dfrac{1}{2}.m + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} + 2\\\;\;\;\;\; = {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0,\forall m\end{array}\)

Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Do phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) nên áp dụng hệ thức Viet cho phương trình (1) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = m - 2\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}M = \dfrac{{ - 24}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2 - 6{x_1}{x_2}}}\\\;\;\;\;\; = \dfrac{{ - 24}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 6{x_1}{x_2}}}\\\;\;\;\;\; = \dfrac{{ - 24}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 8{x_1}{x_2}}}\\\;\;\;\;\; = \dfrac{{ - 24}}{{4{m^2} - 8\left( {m - 2} \right)}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{{ - 24}}{{4{m^2} - 8m + 16}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{6}{{ - {m^2} + 2m - 4}}\end{array}\)

M đạt giá trị nhỏ nhất khi \( - {m^2} + 2m - 4\) đạt giá trị lớn nhất

Ta có: \( - {m^2} + 2m - 4 \)\(\,=  - \left( {{m^2} - 2m + 4} \right) \)\(\,=  - \left[ {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 3} \right] \)\(\,=  - {\left( {m - 1} \right)^2} - 3 \le  - 3,\forall m\)

Khi đó ta có: \(M \ge \dfrac{6}{{ - 3}} =  - 2 \Leftrightarrow m = 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là -2 khi m = 1.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.