Giải bài tập Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình
Đề bài
Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình \({x^2} - 3x - 7 = 0\) . Không giải phương trình hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a) \(S = {x_1} + {x_2}\)
b) \(P = {x_1}{x_2}\)
c) \(A = {x_1}^2 + {x_2}^2\)
d) \(B = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\)
e) \(C = \dfrac{1}{{{x_1} - 1}} + \dfrac{1}{{{x_2} - 1}}\)
f) \(D = (3{x_1} + {x_2})(3{x_2} + {x_1})\)
g) \(E = {x_1}^3 + {x_2}^3\)
h) \(F = {x_1}^4 + {x_2}^4\)
Áp dụng hệ thức Viet của phương trình bậc hai để thay vào các biểu thức đã cho
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình bậc hai ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = 3\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = - 7\end{array} \right.\)
a) \(S = {x_1} + {x_2} = 3\)
b) \(P = {x_1}.{x_2} = - 7\)
c) \(A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\)\(\, = {3^2} - 2.\left( { - 7} \right) = 9 + 14 = 23\)
d) \(B = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \)
\(\Rightarrow {B^2} = {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}x{ _2} \)\(\,= A - 2P = 23 - 2.\left( { - 7} \right) = 37\)
e) \(C = \dfrac{1}{{{x_1} - 1}} + \dfrac{1}{{{x_2} - 1}} \)
\(\;\;\;\;\;\;\;\,= \dfrac{{{x_2} - 1 + {x_1} - 1}}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}} \)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;= \dfrac{{{x_1} + {x_2} - 2}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}} \)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;= \dfrac{{3 - 2}}{{ - 7 - 3 + 1}} = - \dfrac{1}{9}\)
f) \(D = \left( {3{x_1} + {x_2}} \right)\left( {3{x_2} + {x_1}} \right) \)\(\;= 10{x_1}{x_2} + 3\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) \)\(\,= 10.\left( { - 7} \right) + 3.23 = - 1\)
g) \(E = x_1^3 + x_2^3 \)\(\;= \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) \)\(\;= 3.\left( {23 + 7} \right) = 90\)
h) \(F = x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2} \right)^2} + {\left( {x_2^2} \right)^2} \)\(\,= {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2\)\(\, = {23^2} - 2.{\left( { - 7} \right)^2} \)\(\,= 431\)
Loigiaihay.com
>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com
Lớp 12
