Bài 4 trang 57 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Giải bài tập Cho phương trình bậc hai ẩn x với m là tham số:

Đề bài

Cho phương trình bậc hai ẩn x với m là tham số: \({x^2} - 2x + m = 0\) (1)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm.

b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) không thể có hai nghiệm cùng là số âm.

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ – 2x₂ = 5.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a)Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right);b = 2b';\) \(\Delta = {b^2} - 4ac;\Delta ' = {b^2} - ac;\) có nghiệm khi \(\Delta \left( {\Delta '} \right) \ge 0\)

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng âm :\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\{x_1} + {x_2} < 0\\{x_1}.{x_2} > 0\end{array} \right.\). Sau đó không tìm được giá trị nào của m.

c) Kết hợp với hệ thức Viet để tìm m: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) Phương trình có nghiệm khi \(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 1 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1\)

b) Ta có: \({x_1} + {x_2} = 2 > 0\) . Khi đó thì phương trình không thể có 2 nghiệm cùng là số âm được.

c) Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình (1) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\,\,\left( 2 \right)\\{x_1}.{x_2} = m\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Từ đề bài ta có: \({x_1} = 5 + 2{x_2}\) thay vào (2) ta có: \(5 + 2{x_2} + {x_2} = 2 \Leftrightarrow {x_2} = - 1\) . Khi đó ta có \({x_1} = 5 - 2 = 3\) . Thay x₁, x₂ vào (3) ta có :

\(3.\left( { - 1} \right) = m \Leftrightarrow m = - 3\left( {tm} \right)\)

Vậy \(m = - 3\) thì phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Loigiaihay.com