Giải bài tập Cho phương trình
Đề bài
Cho phương trình \({x^2} - (2m - 1)x + {m^2} - 1 = 0\) (m là tham số)
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn \({({x_1}{\rm{ - }}{x_2})^2} = {x_1} - 3{x_2}\)
a) Phương trình có hai nghiệm phân biệtkhi và chỉ khi \(\Delta \left( {\Delta '} \right) > 0\)
b) Biến đổi đẳng thức đầu bài cho về dạng có chứa \({x_1} + {x_1};{x_1}.{x_2}\) sau đó thay hệ thức Viet \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\) vào ta tìm được m.
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}a = 1;b = - \left( {2m - 1} \right);c = {m^2} - 1;\\\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 1} \right) \\\;\;\;\;= 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} + 4 \\\;\;\;\;= - 4m + 5\end{array}\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0 \Leftrightarrow - 4m + 5 > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{5}{4}\)
b) Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình bậc hai ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\,\,\left( 2 \right)\\{x_1}.{x_2} = {m^2} - 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}{({x_1}{\rm{ - }}{x_2})^2} = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {x_1} - 3{x_2} \\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 1} \right) = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} + 4 = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow {x_1} - 3{x_2} = - 4m + 5\\ \Rightarrow {x_1} = - 4m + 5 + 3{x_2}\end{array}\)
Thay \({x_1} = - 4m + 5 + 3{x_2}\) vào (2) ta có:
\(\begin{array}{l} - 4m + 5 + 3{x_2} + {x_2} = 2m - 1\\ \Leftrightarrow 4{x_2} = 6m - 6 \Leftrightarrow {x_2} = \dfrac{3}{2}m - \dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow {x_1} = - 4m + 5 + 3.\left( {\dfrac{3}{2}m - \dfrac{3}{2}} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\; = - 4m + 5 + \dfrac{9}{2}m - \dfrac{9}{2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{1}{2}m + \dfrac{1}{2}\end{array}\).
Thay \({x_1},{x_2}\) vào (3) ta có:
\(\left( {\dfrac{1}{2}m + \dfrac{1}{2}} \right).\left( {\dfrac{3}{2}m - \dfrac{3}{2}} \right) = {m^2} - 1 \\\Leftrightarrow \dfrac{3}{4}\left( {{m^2} - 1} \right) - \left( {{m^2} - 1} \right) = 0 \\\Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{4}\left( {{m^2} - 1} \right) = 0 \\\Leftrightarrow {m^2} - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow m = \pm 1\left( {tm} \right)\)
Vậy \(m = 1\) hoặc \(m = -1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Loigiaihay.com
>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com
Lớp 12
