Bài 5 trang 57 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Giải bài tập Cho phương trình

Đề bài

Cho phương trình \({x^2} - 2(m + 1)x + m - 4 = 0\) (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m = 1

b) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

c) Với x₁, x₂ là nghiệm của (1). Tính theo m giá trị của biểu thức:

\(A = {x_1}(1 - {x_2}) + {x_2}(1 - {x_1})\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

1) Cách giải phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right);\)\(\;\Delta = {b^2} - 4ac\)

+) Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\)

+) Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}}\)

+) Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

2) Cách giảiphương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) và b = 2b’, \(\Delta ' = b{'^2} - ac\)

+) Nếu \(\Delta ' > 0\) thì từ phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \dfrac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_2} = \dfrac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\)

+) Nếu \(\Delta ' = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b'}}{a}\)

+) Nếu \(\Delta ' < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

b)Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0.

c) Theo hệ thức Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Để tìm m ta biến đổi A sau đó thay hệ thức Viet vào A

Lời giải chi tiết

a) Khi m = 1 thì (1) trở thành: \({x^2} - 2\left( {1 + 1} \right)x + 1 - 4 = 0\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 4x - 3 = 0\)

Ta có: \(a = 1;b' = - 2;c = - 3;\) \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} + 3 = 7 > 0\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là \({x_1} = 2 + \sqrt 7 ;{x_2} = 2 - \sqrt 7 \)

b) Tìm điều kiện của m để phương trình \({x^2} - 2(m + 1)x + m - 4 = 0\) (1) có hai nghiệm trái dấu.

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi \(a.c < 0 \Leftrightarrow 1.\left( {m - 4} \right) < 0 \Leftrightarrow m < 4\)

c) Với x₁, x₂ là nghiệm của (1). Tính theo m giá trị của biểu thức:

\(A = {x_1}(1 - {x_2}) + {x_2}(1 - {x_1})\)

Ta có: \(A = {x_1}(1 - {x_2}) + {x_2}(1 - {x_1}) \)\(\;= {x_1} - {x_1}{x_2} + {x_2} - {x_1}{x_2} \)\(\;= {x_1} + {x_2} - 2{x_1}{x_2}\)

Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình (1) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}.{x_2} = m - 4\end{array} \right.\)

Thay vào A ta có: \(A = 2\left( {m + 1} \right) - 2\left( {m - 4} \right)\)\(\; = 2m + 2 - 2m + 8 = 10\)

Loigiaihay.com