Bài 37 trang 126 SGK Toán 9 tập 2

Bình chọn:
3.9 trên 18 phiếu

Giải bài 37 trang 126 SGK Toán 9 tập 2. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A và B.

Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB = 2R\), \(Ax\) và \(By\)  là hai tiếp tuyến với  nửa đường tròn tại \(A\) và \(B\). Lấy trên tia \(Ax\) điểm \(M\) rồi vẽ tiếp tuyến \(MP\) cắt \(By\) tại \(N\).

a) Chứng minh rằng \(MON\)  và \(APB\) là hai tam giác vuông đồng dạng.

b) Chứng minh rằng \(AM.BN = R^2\) 

c) Tính tỉ số \(\dfrac{S_{MON}}{S_{APB}}\)khi \(AM\) = \(\dfrac{R}{2}.\)

d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn \(APB\) quay quanh \(AB\) sinh ra.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a)  Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất tứ giác nội tiếp

b) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông

c) Sử dụng: “ Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng”

d) Thể tích hình cầu bán kính \(R\) là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\) 

Lời giải chi tiết

a) + Xét nửa đường tròn \(\left( O \right)\) có \(MA,MP\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(M\) nên \(OM\) là phân giác \(\widehat {AOP} \Rightarrow \widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}\) (1)

Tương tự ta có \(NB,NP\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(N\) nên \(ON\) là phân giác \(\widehat {BOP} \Rightarrow \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\) (2) và

\(\widehat {NPO} = \widehat {NBO} = 90^\circ \)

Mà \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} = 180^\circ \)  (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có \(\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_4}}\\ = \dfrac{{\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}}}}{2} = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {MON} = 90^\circ \)

+ Lại có \(\widehat {APB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

+ Xét tứ giác \(OPNB\) có \(\widehat {NPO} = \widehat {NBO} = 90^\circ \) nên \(\widehat {NPO} + \widehat {NBO} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \) mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác \(OPNB\)  là tứ giác nội tiếp, suy ra \(\widehat {PBO} = \widehat {PNO}\)  (cùng nhìn cạnh \(PO\))

Xét \(\Delta MON\) và \(\Delta APB\) có \(\widehat {MON} = \widehat {APB}\left( { = 90^\circ } \right)\) và \(\widehat {PBA} = \widehat {MNO}\,\left( {cmt} \right)\) nên \(\Delta APB \backsim \Delta MON\left( {g - g} \right)\) (đpcm)

b) + Xét nửa đường tròn \(\left( O \right)\) có  \(MA,MP\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(M\) và \(NB,NP\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(N\) nên \(MA = MP;NP = NB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ Xét tam giác \(MON\) vuông tại \(O\) có \(OP \bot MN\)  (do \(MN\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)) nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(O{P^2} = MP.PN\)

Mà \(MA = MP;NP = NB\) (cmt) và \(OP = R\) nên \(O{P^2} = MP.PN \Leftrightarrow {R^2} = AM.BN\) (đpcm)

c) Vì \(AM = \dfrac{R}{2}\) mà \(AM.BN = {R^2}\) (câu b) nên \(BN = \dfrac{{{R^2}}}{{AM}} = \dfrac{{{R^2}}}{{\dfrac{R}{2}}} = 2R\)

Suy ra \(MP = MA = \dfrac{R}{2};NP = NB = 2R \\\Rightarrow MN = MP + NP = \dfrac{R}{2} + 2R = \dfrac{5}{2}R.\) 

Vì \(\Delta MON \sim \Delta APB\) (câu a) nên tỉ số đồng dạng là \(k = \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{\dfrac{5}{2}R}}{{2R}} = \dfrac{5}{4}\)

Suy ra tỉ số diện tích \(\dfrac{{{S_{MON}}}}{{{S_{APB}}}}\, = {k^2} = {\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{{16}}\)  (tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng)

d) Nửa hình tròn \(APB\) quay sinh ra hình cầu bán kính \(R\) nên thể tích hình cầu là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\)

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com