Bài 37 trang 126 SGK Toán 9 tập 2


Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB = 2R\), \(Ax\) và \(By\)  là hai tiếp tuyến với  nửa đường tròn tại \(A\) và \(B\). Lấy trên tia \(Ax\) điểm \(M\) rồi vẽ tiếp tuyến \(MP\) cắt \(By\) tại \(N\).

a) Chứng minh rằng \(MON\)  và \(APB\) là hai tam giác vuông đồng dạng.

b) Chứng minh rằng \(AM.BN = R^2\) 

c) Tính tỉ số \(\dfrac{S_{MON}}{S_{APB}}\)khi \(AM\) = \(\dfrac{R}{2}.\)

d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn \(APB\) quay quanh \(AB\) sinh ra.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a)  Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất tứ giác nội tiếp

b) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông

c) Sử dụng: “ Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng”

d) Thể tích hình cầu bán kính \(R\) là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\) 

Lời giải chi tiết

a) + Xét nửa đường tròn \(\left( O \right)\) có \(MA,MP\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(M\) nên \(OM\) là phân giác \(\widehat {AOP} \Rightarrow \widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}\) (1)

Tương tự ta có \(NB,NP\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(N\) nên \(ON\) là phân giác \(\widehat {BOP} \Rightarrow \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\) (2) và

\(\widehat {NPO} = \widehat {NBO} = 90^\circ \)

Mà \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} = 180^\circ \)  (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có \(\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_4}}\\ = \dfrac{{\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}}}}{2} = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {MON} = 90^\circ \)

+ Lại có \(\widehat {APB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

+ Xét tứ giác \(OPNB\) có \(\widehat {NPO} = \widehat {NBO} = 90^\circ \) nên \(\widehat {NPO} + \widehat {NBO} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \) mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác \(OPNB\)  là tứ giác nội tiếp, suy ra \(\widehat {PBO} = \widehat {PNO}\)  (cùng nhìn cạnh \(PO\))

Xét \(\Delta MON\) và \(\Delta APB\) có \(\widehat {MON} = \widehat {APB}\left( { = 90^\circ } \right)\) và \(\widehat {PBA} = \widehat {MNO}\,\left( {cmt} \right)\) nên \(\Delta APB \backsim \Delta MON\left( {g - g} \right)\) (đpcm)

b) + Xét nửa đường tròn \(\left( O \right)\) có  \(MA,MP\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(M\) và \(NB,NP\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(N\) nên \(MA = MP;NP = NB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ Xét tam giác \(MON\) vuông tại \(O\) có \(OP \bot MN\)  (do \(MN\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)) nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(O{P^2} = MP.PN\)

Mà \(MA = MP;NP = NB\) (cmt) và \(OP = R\) nên \(O{P^2} = MP.PN \Leftrightarrow {R^2} = AM.BN\) (đpcm)

c) Vì \(AM = \dfrac{R}{2}\) mà \(AM.BN = {R^2}\) (câu b) nên \(BN = \dfrac{{{R^2}}}{{AM}} = \dfrac{{{R^2}}}{{\dfrac{R}{2}}} = 2R\)

Suy ra \(MP = MA = \dfrac{R}{2};NP = NB = 2R \\\Rightarrow MN = MP + NP = \dfrac{R}{2} + 2R = \dfrac{5}{2}R.\) 

Vì \(\Delta MON \sim \Delta APB\) (câu a) nên tỉ số đồng dạng là \(k = \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{\dfrac{5}{2}R}}{{2R}} = \dfrac{5}{4}\)

Suy ra tỉ số diện tích \(\dfrac{{{S_{MON}}}}{{{S_{APB}}}}\, = {k^2} = {\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{{16}}\)  (tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng)

d) Nửa hình tròn \(APB\) quay sinh ra hình cầu bán kính \(R\) nên thể tích hình cầu là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 19 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.